查找最长双调子序列的Python程序

本文介绍如何使用Python编写算法来查找最长双调子序列（Longest Bitonic Subsequence）。最长双调子序列是一个序列，首先呈上升趋势，然后呈下降趋势，如下所示：

1, 3, 2, 4, 3, 6, 9, 7, 6, 5, 4, 8, 7, 6, 5

在该序列中，最长双调子序列为 1, 3, 4, 6, 9, 8, 7, 6, 5，关键在于它首先是升序的，然后是降序的。

算法说明

要查找最长双调子序列，我们将首先查找最长上升子序列，然后查找最长下降子序列，最后将它们组合在一起。以下是算法的步骤：

1. 从左到右遍历序列，记录每个元素的最长上升子序列长度。
2. 从右到左遍历序列，记录每个元素的最长下降子序列长度。
3. 对于每个元素，将它的最长上升子序列长度和最长下降子序列长度相加，并减去1（因为我们计算了两次该元素）。
4. 找到最大值即为最长双调子序列的长度。

代码实现

以下是使用Python编写算法的实现：

def longest_bitonic_subsequence(sequence):
    # 计算最长上升子序列
    lis = [1] * len(sequence)
    for i in range(len(sequence)):
        for j in range(i):
            if sequence[i] > sequence[j]:
                lis[i] = max(lis[i], lis[j] + 1)
    # 计算最长下降子序列
    lds = [1] * len(sequence)
    for i in range(len(sequence) - 1, -1, -1):
        for j in range(len(sequence) - 1, i, -1):
            if sequence[i] > sequence[j]:
                lds[i] = max(lds[i], lds[j] + 1)
    # 计算最长双调子序列
    lbs = [a + b - 1 for a, b in zip(lis, lds)]
    return max(lbs)

sequence = [1, 3, 2, 4, 3, 6, 9, 7, 6, 5, 4, 8, 7, 6, 5]
print(longest_bitonic_subsequence(sequence)) # 输出 9

该算法计算复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是序列的长度。