打印最长的双子序列(空间优化方法)

概述

双子序列是指一个序列中出现至少两次的子序列，在原序列中两个子序列不能有重叠部分。本文将介绍如何打印出最长的双子序列，同时采用空间优化方法，减小程序的空间占用。

递推关系

假设我们已经求得了前i-1个数的最长双子序列长度li-1和以第i-1个数结尾的最长双子序列长度p-1[i-1]。对于前i个数，最长双子序列长度li可以分两种情况：

1. 不包含第i个数，则li = li-1。
2. 包含第i个数，则li = max(p-1[j])+1，其中j表示在前i-1个数中与第i个数相等的最大下标。

对于以第i个数结尾的最长双子序列长度p[i]，也有两种情况：

1. 只有在前i个数中都出现过，才能更新p[i]的值，即p[i] = max(p[j])+1，其中j表示在前i-1个数中与第i个数相等的最大下标。
2. 在前i-1个数中出现过，但在第i个数中没有出现过，则p[i] = p[i-1]。

综上所述，我们可以得到以下代码：

def print_longest_twin_subsequence(X):
    n = len(X)
    L = [0] * n
    P = [0] * n
    M = {}
    for i in range(n):
        if X[i] in M:
            j = M[X[i]]
            P[i] = L[j] + 1
        else:
            P[i] = 1
        M[X[i]] = i
        for j in range(i):
            if X[i] == X[j]:
                L[i] = max(L[i], P[j])
        L[i] = max(L[i], L[i - 1])
    result = []
    i = n - 1
    while i >= 0:
        if P[i] > 1 and P[i] + L[i - 1] == L[n - 1]:
            result.append(X[i])
            i -= 1
        elif L[i] == L[i - 1]:
            i -= 1
        else:
            i -= 1
    result.reverse()
    return result

空间优化

以上代码时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)，而实际上我们只需要前一行和当前行的信息。因此可以将L和P改为两个一维数组，每次计算新一行的信息时，只需要用上一行的信息和当前行的信息即可。这样，空间复杂度就可以优化为O(1)。

def print_longest_twin_subsequence(X):
    n = len(X)
    L0, L1 = 0, 0
    P0, P1 = 0, 0
    M = {}
    for i in range(n):
        if X[i] in M:
            j = M[X[i]]
            P1 = L0 + 1
        else:
            P1 = 1
        M[X[i]] = i
        for j in range(i):
            if X[i] == X[j]:
                L1 = max(L1, P0)
        L1 = max(L1, L0)
        P0, P1 = P1, P0
        L0, L1 = L1, L0
    result = []
    i = n - 1
    while i >= 0:
        if P0 > 1 and P0 + L1 == L0:
            result.append(X[i])
            i -= 1
        elif L0 == L1:
            i -= 1
        else:
            i -= 1
        P0, P1 = P1, P0
        L0, L1 = L1, L0
    result.reverse()
    return result

总结

本文介绍了最长双子序列的递推关系，及空间优化方法。空间优化方法虽然难度比较大，但相比于暴力算法的O(n^2)空间复杂度，O(1)的空间复杂度还是很诱人的。希望本文能对大家的编程学习有所帮助。