给定条件下几何级数中的项数

本文介绍如何在给定条件下计算几何级数中的项数。

问题描述

假设有一个几何级数 $a_n = a \cdot q^{n-1}$，其中 $a$ 是首项，$q$ 是公比。现在已知该几何级数的首项为 $a$，公比为 $q$，以及该几何级数的和 $S$。现在需要计算出该几何级数中的项数 $n$。

解决方案

由于几何级数的和公式为 $S = \dfrac{a(1-q^n)}{1-q}$，可以通过该公式求解。

首先将公式变形为 $q^n = 1 - \dfrac{a}{S}(1-q) $。

然后可以通过求对数的方式计算出 $n$：

$$ \begin{aligned} q^n &= 1 - \dfrac{a}{S}(1-q) \ n \cdot \log q &= \log\left(1 - \dfrac{a}{S}(1-q)\right) \ n &= \dfrac{\log\left(1 - \dfrac{a}{S}(1-q)\right)}{\log q} \end{aligned} $$

代码实现

import math

def calculate_n(a: float, q: float, S: float) -> float:
    """
    给定几何级数的首项 a，公比 q，以及和 S，计算几何级数中的项数 n。

    Args:
        a: 几何级数的首项。
        q: 几何级数的公比。
        S: 几何级数的和。

    Returns:
        几何级数中的项数 n。
    """
    return math.log(1 - a/S*(1-q)) / math.log(q)

示例

现有一个几何级数，其首项为 $1$，公比为 $0.5$，和为 $15.5$。通过上述函数，可以计算出该几何级数的项数为 $5.0$。

>>> a = 1
>>> q = 0.5
>>> S = 15.5
>>> calculate_n(a, q, S)
5.0

总结

本文介绍了如何在给定条件下计算几何级数中的项数。通过使用几何级数的和公式及对数计算方法，可以较为简单地求解该问题。