通过将给定数组中的素数相加可以获得的不同和的计数

在这个题目中，我们需要从给定的数组中选取若干个素数，使它们的和为一个指定的数，要求不同的选取方案数。

本题需要用到素数判定和动态规划的思想。

素数判定

判断一个数是否为素数，可以很容易地想到用 trial division（试除法），但它在时间复杂度上不够优秀，我们还可以用 sieve of Eratosthenes（埃筛法），它使用了筛法的思想，可以较快地得出指定范围内的所有素数。具体使用方法：

1. 初始化一个布尔数组 is_prime[]，全部赋值为 true。
2. 从 2 开始，将当前数的倍数全部标记为非素数（因为它们一定有更小的因子）。
3. 遍历数组，将所有 is_prime[i] 为 true 的数加入素数列表。

下面是使用 Python 实现的代码：

def sieve(n):
    is_prime = [True] * n
    primes = []
    for i in range(2, n):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i * 2, n, i):
                is_prime[j] = False
    return primes

动态规划

接下来我们考虑如何用动态规划解决本题。设 dp[i][j] 表示前 i 个素数中选取若干个构成和为 j 的方案数，那么就有：

• 如果不选第 i 个，则方案数为 dp[i-1][j]。
• 如果选第 i 个，则方案数为 dp[i-1][j-prime[i-1]]。
• 初始状态为 dp[0][0] = 1。

最终的答案为 dp[len(prime)][n]。

下面是使用 Python 实现的代码：

def count_primes(n, nums):
    primes = sieve(n+1)
    if not primes:
        return 0
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(len(primes)+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, len(primes)+1):
        for j in range(n+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if primes[i-1] <= j:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-primes[i-1]]
    return dp[len(primes)][n]

总结

本题通过素数判定和动态规划的思想，实现了从给定数组中选取若干个素数，使它们的和为一个指定的数，要求不同的选取方案数。