程序检查对合矩阵

简介

在线性代数中，对合矩阵是一种特殊的实对称矩阵，满足矩阵的平方等于单位矩阵。也就是说，对合矩阵是一种满足 $AA=I$ 的实对称矩阵。

在计算机程序中，判断一个矩阵是否为对合矩阵是一项常见的任务。本文将介绍如何编写程序检查一个矩阵是否为对合矩阵。

算法

根据对合矩阵的定义，可得到以下判断方法：

1. 判断矩阵是否为实对称矩阵；
2. 计算矩阵的平方，判断是否等于单位矩阵。

下面是代码实现：

import numpy as np

def is_symmetric(matrix):
    """
    判断矩阵是否为实对称矩阵
    """
    rows, cols = matrix.shape
    if rows != cols:
        return False
    
    for i in range(rows):
        for j in range(i, cols):
            if matrix[i,j] != matrix[j,i]:
                return False
            
    return True

def is_involution(matrix):
    """
    判断矩阵是否为对合矩阵
    """
    if not is_symmetric(matrix):
        return False
    
    square_matrix = np.dot(matrix, matrix)
    identity_matrix = np.identity(square_matrix.shape[0])
    
    if np.allclose(square_matrix, identity_matrix):
        return True
    else:
        return False

使用方法

使用 Numpy 库中的矩阵对象即可进行判断。例如，判断一个 $3 \times 3$ 的矩阵是否为对合矩阵，可以使用以下代码：

import numpy as np

A = np.array([[1, 0, 0],
              [0, -1, 0],
              [0, 0, -1]])

if is_involution(A):
    print("A is an involution matrix")
else:
    print("A is not an involution matrix")

输出结果为：

A is an involution matrix

总结

本文介绍了如何编写程序判断一个矩阵是否为对合矩阵。程序的实现主要依赖于判断矩阵是否为实对称矩阵和计算矩阵的平方，可以使用 Numpy 库中的矩阵对象方便地实现。