将给定的字符串拆分为素数：Digit DP

简介

Digit DP 是一种常用的动态规划方法，它利用了数位的信息解决了一些数学问题。在本篇文章中，我们将使用 Digit DP 来将给定的字符串拆分为素数。

问题描述

给定一个仅包含数字的字符串，将其拆分成若干个数字，使得每个数字都是素数，且拆分后的数字序列顺序不变。求拆分方案数。

算法思路

首先，我们需要判断一个数是否为素数。判断素数的方法可以使用试除法，即将该数除以 2 到 $\sqrt{n}$ 之间的每个整数，如果都不能整除，则该数是素数。

接下来，我们考虑使用 Digit DP。我们定义 $dp[i][j]$ 为原数串的前 $i$ 个数字，拆分成若干个素数之后，最后一段素数的结尾位置为 $j$ 的方案数。则有状态转移方程：

$$dp[i][j] = \sum_{k=1}^{j} dp[i-len_{k}][k-1]$$

其中，$len_{k}$ 表示从位置 $k$ 出发的最长素数的长度。即，我们从 $j$ 出发向前枚举素数，将该素数的长度加到 $i-len_{k}$ 之前的段上，最后将方案数进行累加。可以发现，我们需要用到当前位置和前一位的信息，因此我们可以进行状态压缩。

代码实现

const int N = 1e3;
bool isPrime[N];
int dp[N][N];
string s;

void init() {  // 线性筛素数
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        isPrime[i] = true;
    }
    for (int i = 2; i * i < N; ++i) {
        if (!isPrime[i]) continue;
        for (int j = i * i; j < N; j += i) {
            isPrime[j] = false;
        }
    }
}

int main() {
    init();
    cin >> s;
    int n = s.length();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {  // 边界
        if (isPrime[s[i] - '0']) {
            dp[0][i] = 1;
        }
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int len = 0;
        for (int j = i; j >= 0; --j) {
            len++;
            if (!isPrime[s[j] - '0']) continue;
            dp[i][j] = 0;
            for (int k = j; k < i; ++k) {
                dp[i][j] += dp[k][j - 1];
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ans += dp[n - 1][i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

Digit DP 是一种有趣的动态规划方法，它可以便捷地解决一些数学问题。在本篇文章中，我们利用 Digit DP 成功将给定的字符串拆分为素数，并求出了拆分方案数。在实际开发中，我们可以针对具体问题借助 Digit DP 进行优化。