将给定的字符串拆分为赔率：Digit DP

简介

Digit DP 是一种动态规划算法，通常用于处理数字相关的问题。在本题目中，我们需要将一个字符串拆分为几个部分，使得每个部分都是一个有效的浮点数（即一个赔率），并且这些部分的乘积最大。我们可以使用 Digit DP 算法来解决这个问题。

算法原理

在 Digit DP 算法中，我们通常定义一个状态 $f[i][j]$，表示在从左至右处理字符串第 $i$ 位时，已经选了 $j$ 个部分，而且最后一个部分的值为 $x$ 时的最优解。然后我们通过枚举从 $i$ 到 $k$（$k$ 为字符串的长度）的子串作为一个部分，然后计算出在这个子串内选择的数值的乘积，更新 $f$ 数组的值。

具体的更新方式可以参考下面的代码实现。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 105;
const double INF = 1e20;

int n;
char s[N];
double f[N][N];
bool st[N][N];

bool check(int l, int r) {
    if (s[l] == '0' && r > l) return false;
    if (s[l] == '.' && l == r) return false;
    if (s[r] == '.') return false;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        if (!isdigit(s[i]) && s[i] != '.') return false;
        if (i > l && s[i] == '.' && i < r) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    scanf("%s", s + 1);
    n = strlen(s + 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            f[i][j] = -INF;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            if (check(j, i)) {
                double x = atof(s + j);
                if (j == 1) f[i][1] = x;
                else {
                    for (int k = 1; k < j; k++)
                        if (st[k][j - 1])
                            f[i][j] = max(f[i][j], f[j - 1][k] * x);
                }
                st[j][i] = true;
            }
        }

    double res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res = max(res, f[n][i]);

    printf("%.2lf\n", res);
    return 0;
}

代码解析

首先，我们读入字符串，并使用 $f[i][j]$ 初始化为负无穷。然后我们枚举 $i$ 和 $j$，如果 $s[j..i]$ 是一个有效的数值，我们就通过 atof() 函数将其转换为一个浮点数 $x$。如果 $j=1$ 表示这是第一个部分，我们将 $f[i][1]$ 赋为 $x$。否则，我们枚举 $[1, j)$ 的所有可能的 $k$，判断是否 $\mathrm{st}[k][j-1]$ 为真，如果是，说明从 $k$ 到 $j-1$ 形成了一个有效的数值，可以作为一个部分。我们通过这个部分的值 $f[j-1][k]$ 和 $x$ 计算 $f[i][j]$ 的值，并将 $\mathrm{st}[j][i]$ 标记为真，表示 $s[j..i]$ 是有效的数值。

最后，我们枚举 $f[n][i]$，找到其中的最大值即可。

总结

Digit DP 算法通常用于处理字符串、数字类相关的问题，具有时间复杂度低、解题能力强等优点。本题就是典型的 Digit DP 问题，通过详细了解其算法原理和代码实现，我们可以更好地理解该算法的应用场景和使用方法。