题目介绍

给定一个字符串，寻找将其拆分为若干个素数的所有可能方法。

解法思路

考虑使用回溯法（backtracking）解决此问题。

具体来说，从字符串的第一个字符开始，依次选取长度递增的子串作为待判断的素数。如果该子串是素数，则继续递归地处理剩余的部分，直到判断完整个字符串。如果最终字符串被拆分为若干个素数，则记录该次拆分方式。

需要注意的是，素数的判断可以通过试除法（trial division）实现，即判断该整数能否被2到（该数的平方根向下取整）之间的整数整除。

代码实现

from math import sqrt

def is_prime(n):
    """判断一个数n是否为素数"""
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def split_to_primes(s):
    """将字符串s拆分为若干个素数的所有可能方法"""
    def backtrack(start):
        nonlocal path
        if start == len(s):
            if len(path) > 0 and path[-1] == len(s):
                res.append(path[:-1])
            return
        for i in range(start + 1, len(s) + 1):
            if is_prime(int(s[start:i])):
                path.append(i)
                backtrack(i)
                path.pop()

    res = []
    path = [0]
    backtrack(0)
    return res

复杂度分析

• 时间复杂度：对于长度为n的字符串，最坏情况下需要对所有长度大于1的子串进行素数判断，因此总时间复杂度为$$O(\sum_{i=2}^{n}\frac{n}{i}\sqrt{i})=O(n\sum_{i=2}^{n}\frac{\sqrt{i}}{i})=O(n\log n)$$
• 空间复杂度：backtrack使用了额外的O(n)空间，因此总空间复杂度为$O(n)$。