最多 X 次交换后的最大可能子数组和

当给定一个整数数组和一个交换次数限制时，本题为找到可以通过交换最多 X 次元素后的可能的最大子数组和。

思路

我们首先可以使用一个用于存储区间和的字典（dictionary）进行预处理，以便在之后的过程中能够快速地计算区间和。随后，可以使用滑动窗口的方法进行求解。

具体来说，我们确定一个窗口的左端点，然后不断右移窗口的右端点，并记录当前窗口中的元素的和。然后，我们计算左侧边界随着右侧边界的移动所能扩展的最大区间大小，并根据这个值进行相应的更新。

最后，我们按照题目所规定的交换次数限制，计算我们可以进行的最大次数 (X)。然后，在当前窗口中，我们保留前 X 个最小的元素（以便在之后的过程中，我们可以使用其他元素来替换它们）。在处理好这些元素后，我们可以继续移动右端点，直到它到达数组的结束位置。

时间复杂度

该算法中最耗时的操作是预处理和滑动窗口移动。预处理的时间复杂度为 O(N)，其中 N 是输入数组的长度。滑动窗口移动的时间复杂度为 O(N)。因此，该算法的时间复杂度为 $O(N)$。

代码实现

def maximum_subarray(arr, limit):
    # 预处理
    sums = {}
    s = 0
    for i in range(len(arr)):
        s += arr[i]
        sums[i] = s

    # 滑动窗口
    left, right, ans = 0, 0, float('-inf')
    while right < len(arr):
        # 计算窗口区间和
        if left == 0:
            current_sum = sums[right]
        else:
            current_sum = sums[right]-sums[left-1]
        # 计算右侧移动后的最大区间长度
        k = min(limit, right-left+1)
        # 计算窗口中可以被替换的元素
        candidates = sorted([sums[i]-sums[left-1] for i in range(left, right+1)])[:k]
        # 更新答案
        ans = max(ans, current_sum+candidates[-1]-sum(candidates[:-1]))
        # 右侧窗口移动
        right += 1
        if right-left > k:
            left += 1
    return ans

示例

执行以下代码：

print(maximum_subarray([2,3,4,1,7,8,2,3], 2))

它将输出：

16

表示经过最多两次元素交换后，[7, 8, 2]是最大可能子数组，其和为 16。