删除最多 K 个数组元素后可能的最大子数组和介绍

在计算机科学中，一个最大子数组问题指的是给定一个由整数组成的非空数组，求该数组中所有连续子数组中的最大和。

但是，在某些情况下，我们需要在删除最多 K 个元素后求解最大子数组和。例如，如果我们有一个长度为 N 的数组和一个整数 K，我们需要从该数组中删除最多 K 个元素，以便获得可能的最大子数组和。

例如，给定一个数组为 [4, -4, 5, -3, -5, 10, 11] 和一个整数 K = 2，我们可以删除元素 -4 和 -5，以便获得可能的最大子数组和为 30，即子数组 [4, 5, 10, 11]。

计算这个问题的一种有效的方法是使用动态编程。具体来说，我们可以维护以下两个数组：

• dp[i][j]：在删除了最多 j 个元素的情况下以第 i 个元素结尾的子数组的最大和。
• prefix_sum[i]：前 i 个元素的和。

我们可以使用以下递推式计算 dp[i][j]：

• 如果 j = 0，则最大子数组和即为 prefix_sum[i]；
• 否则，如果我们要删除第 i 个元素，则最大子数组和将是 dp[i-1][j-1]。否则，最大子数组和将是 dp[i-1][j] + prefix_sum[i] - prefix_sum[i-1]。

最终的答案将是 dp[N][K]，其中 N 是数组的长度。

以下是一个Python实现：

def max_sub_array(nums: List[int], k: int) -> int:
    N = len(nums)
    prefix_sum = [0] * (N+1)
    for i in range(1, N+1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + nums[i-1]

    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(N+1)]
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(k+1):
            if j == 0:
                dp[i][j] = prefix_sum[i]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] if i > j else float('-inf')
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j] + prefix_sum[i] - prefix_sum[i-1])

    return dp[N][k]

此算法的时间复杂度为 O(NK)，其中 N 是数组的长度和 K 是最多可以删除的元素的数量。空间复杂度也是 O(NK)。