在树中找到最大的子树和

在树的数据结构中，每个节点都有一个值。我们需要在给定的树中找到子树，使其所有节点值的和最大。例如，在给定树中，节点值是：2, -4, 5, 4, -1, 3, -2。

    2
   / \
 -4   5
 / \   \
4  -1   3
       / \
     -2   1  

那么，最大子树和是：12，即5 + 4 + 3。

解决方案

对于这种求最优解的问题，一般可以使用深度优先遍历（DFS）或动态规划（DP）来解决。

方法一：深度优先遍历

从根节点开始遍历整棵树，对于每个节点：

• 计算以该节点为根的子树的和；
• 取得当前的最大子树和（初始化为0）；
• 然后比较该节点的子树和与当前的最大子树和，将较大的值赋给最大子树和。

代码片段：

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.val = value
        self.left = None
        self.right = None

class Solution:
    def findSubtreeSum(self, root: Node) -> int:
        self.max_sum = float('-inf')   # 初始化最大子树和为负无穷
        self.dfs(root)  # 开始深度优先遍历
        return self.max_sum

    def dfs(self, node):
        if not node:  # 如果节点为空，返回0
            return 0
        
        left_sum = self.dfs(node.left)   # 左子节点的和
        right_sum = self.dfs(node.right)  # 右子节点的和
        total_sum = left_sum + right_sum + node.val   # 当前子树的和

        self.max_sum = max(self.max_sum, total_sum)  # 更新最大子树和

        return total_sum  # 返回当前子树的和

方法二：动态规划

动态规划通常需要一个dp数组来存储中间状态。这里，我们定义dp[i]表示以第i个节点为根的子树的最大值。要想求出dp[i]，需要计算以i的左右儿子分别为根的子树的最大值，然后再加上节点i的值。最后，比较所有子树的最大值，选出最大的即可。

代码片段：

class Solution:
    def findSubtreeSum(self, root: Node) -> int:
        self.max_sum = float('-inf')
        self.dp(root)
        return self.max_sum

    def dp(self, node):
        if not node:
            return 0
        
        left_sum = self.dp(node.left)
        right_sum = self.dp(node.right)
        total_sum = max(left_sum, 0) + max(right_sum, 0) + node.val   # 这里要保证子树和的正数
        
        self.max_sum = max(self.max_sum, total_sum)

        return total_sum

整体思路

无论是DFS还是DP，都需要比较每个节点的子树和与上一次的最大子树和，将最大值保存到max_sum中。最后，返回max_sum即可。

注意：如果节点为空，需要返回0。对于DP方法，如果子树和为负数，需要舍去，即将其设为0。

时间复杂度

DFS和DP的时间复杂度都是$O(n)$，其中n为树中节点数。因为需要遍历整棵树。

空间复杂度

DFS和DP的空间复杂度都是$O(h)$，其中h为树的高度。因为DP方法需要一个dp数组存储中间状态，而DFS方法需要用到递归。