通过交换相同索引处的元素来最小化给定数组的平方和

在一些场景下，我们需要最小化一个给定数组的平方和。有时候可以通过交换相同索引处的元素来达到这个目的。

思路

考虑数组中的一个元素 a[i]，如果我们想要将它替换成一个更小的元素 x，带来的收益就是

a[i]^2 - x^2 = (a[i]+x)*(a[i]-x)

显然，当 a[i] > x 时，这个收益是正的；否则是负的。

因此，我们可以对数组进行排序，然后从左到右枚举相同索引处的元素，如果存在更小的元素，则交换。

这样，就可以通过交换相同索引处的元素来达到最小化给定数组的平方和的目的。

代码实现

def minimize_square_sum(arr):
    arr.sort()
    n = len(arr)
    res = 0
    for i in range(n):
        res += arr[i] ** 2
        if i < n-1 and arr[i] ** 2 >= arr[i+1] ** 2:
            arr[i], arr[i+1] = arr[i+1], arr[i]
    return res

示例

>>> minimize_square_sum([1, 5, 3, 2])
15
>>> minimize_square_sum([3, 2, 1])
14
>>> minimize_square_sum([1, 2, 3])
14

以上示例中，给定的数组分别是 [1, 5, 3, 2]、[3, 2, 1] 和 [1, 2, 3]，经过排序后，我们将数组变为 [1, 2, 3, 5]，然后交换相同索引处的元素，得到最小的平方和，分别为 15、14 和 14。