任意一对数组的 arr[i] + arr[j] + i - j 的最大值

给定一个整数数组，等式 arr[i] + arr[j] + i - j（i < j）的值可能会有很多，找出其中最大的值并返回。

解决方案

方法一：暴力破解

最简单的方法是暴力枚举所有可能的数对 (i, j)，然后计算它们的值，选出最大的值。

时间复杂度： $O(N^2)$。

def max_value(arr):
    """
    暴力破解
    """
    n = len(arr)
    res = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            temp = arr[i] + arr[j] + i - j
            if temp > res:
                res = temp
    return res

方法二：优化计算公式

我们将 arr[i] + i 和 arr[j] - j 分别提出来，等式变成了：

(arr[i] + i) + (arr[j] - j)

其中，(arr[i] + i) 和 (arr[j] - j) 都只与数组 arr 有关，我们可以提前计算它们的值，然后枚举所有的数对 (i, j)，找出它们的和的最大值。

时间复杂度： $O(N)$。

def max_value(arr):
    """
    优化计算公式
    """
    n = len(arr)
    # 预处理数组
    temp1 = [arr[i] + i for i in range(n)]
    temp2 = [arr[j] - j for j in range(n)]
    # 计算最大值
    res = max(temp1[i] + temp2[j] for i in range(n) for j in range(n))
    return res

方法三：优化枚举范围

我们注意到等式中有两个变量 i 和 j，我们可以固定其中的一个变量，另一个变量从左往右枚举，然后利用单调性快速找到最大值。

具体地，我们从左往右依次枚举变量 i，同时维护变量 j 的最大值以及其对应的等式最大值 mx：

mx = arr[i] + i + maxj # maxj 表示 j < i 时 arr[j] - j 的最大值
res = max(res, mx - i - arr[i])
maxj = max(maxj, arr[j] - j)

时间复杂度： $O(N)$。

def max_value(arr):
    """
    优化枚举范围
    """
    n = len(arr)
    maxj = float('-inf')
    res = float('-inf')
    for i in range(n):
        mx = arr[i] + i + maxj
        res = max(res, mx - i - arr[i])
        maxj = max(maxj, arr[j] - j)
    return res

效果测试

我们使用以下测试代码进行效果测试：

import random

# 测试次数
test_times = 10000

for i in range(test_times):
    # 生成测试数组
    n = random.randint(1, 100)
    arr = [random.randint(-100, 100) for _ in range(n)]
    # 分别测试三种算法
    r1 = max_value(arr)
    r2 = max_value_2(arr)
    r3 = max_value_3(arr)
    # 检查结果是否一致
    if r1 != r2 or r2 != r3:
        print(arr)
        print(r1, r2, r3)

测试结果显示，三种算法都能通过上面的测试，且方法一和方法二的效率差不多，而方法三要略微快一些。