统计 [L, R] 范围内只由 2 和 7 两个质因数组成的数字数量

思路

首先，一个数字只有 2 和 7 两个质因数，等价于这个数字的质因数分解式只包含 2 和 7 两个质因数。

假设当前考虑的数字为 $n$，如果 $n$ 包含其它质因数，那么肯定无法满足条件，因此我们只需要考虑 $n$ 的质因数分解式是否只包含 2 和 7 两个质因数即可。

由于 $n$ 的最小质因数为 $p$，所以 $n$ 的任何因数都会包含 $p$，因此在枚举 $n$ 时，我们可以对 $p=2$ 和 $p=7$ 分别进行讨论：

• 当 $p=2$ 时，我们将 $n$ 除以 2 并不断更新 $n$ 直至 $\frac{n}{2}$ 不再为偶数，这样能够保证 $n$ 的质因数分解式中只包含 2 和 7 两个质因数。
• 当 $p=7$ 时，同理我们将 $n$ 除以 7 并不断更新 $n$ 直至 $\frac{n}{7}$ 不再为 7 的倍数，也能够保证 $n$ 的质因数分解式中只包含 2 和 7 两个质因数。

确定了 $n$ 的质因数分解式中只包含 2 和 7 两个质因数后，我们只需要判断 $n$ 是否在 [L, R] 范围内即可统计满足条件的数字数量。

代码实现

def count_numbers_with_only_2_and_7(L: int, R: int) -> int:
    """
    统计 [L, R] 范围内只由 2 和 7 两个质因数组成的数字数量
    """
    def count_num(n: int, p: int) -> int:
        res = 0
        while n % p == 0 and n >= L:
            n //= p
            res += 1
        return res

    count = 0
    for n in range(L, R + 1):
        cnt_2 = count_num(n, 2)
        cnt_7 = count_num(n, 7)
        if n == 1 or n == 2**cnt_2 * 7**cnt_7:
            count += 1

    return count

其中，count_num 函数用于统计 $n$ 的质因数分解式中质因数 $p$ 的指数，即 $n$ 中包含 $p$ 的因数个数。而在主函数中，我们枚举了 [L, R] 范围内的每一个数，并分别统计其中质因数 2 和 7 的个数，进而判断是否满足条件。最后返回满足条件的数字数量即可。