求数字 1 到 N 的质因数的指数和

在数论中，一个数的质因数是指能整除该数的质数。对于一个数字N，我们可以求出它的所有质因数，并计算每个质因数的指数。其中指数定义为该质因数在N的分解式中的次数。对于一个数字N，我们可以编写程序来计算1到N的所有数字的质因数的指数和。下面是一个Python示例代码：

def prime_factors_sum(n):
    """
    求数字 1 到 N 的质因数的指数和
    :param n: 输入一个正整数N
    :return: 整数1到N的质因数的指数和
    """
    # 初始化数组
    factors = [0] * (n + 1)

    # 从2开始遍历到N
    for i in range(2, n + 1):
        # 如果这个数字还未被标记过（即为素数），则进行分解
        if factors[i] == 0:
            j = i
            while j <= n:
                # 标记该数字的所有倍数为合数
                factors[j] += 1
                j += i

    # 计算1到N的所有数字的质因数的指数和
    res = sum(factors[2:])

    return res

解释：

首先，我们定义了一个名为prime_factors_sum的函数，它接受一个参数n作为输入。然后我们创建一个名为factors的全0数组，长度为n+1，它会用来存储每个数字的质因数的指数。

接下来，我们从数字2开始遍历到n。如果数字i还未被标记为不是质数（即factors[i]等于0），那么我们可以确定它是质数。所以我们将它标记为可以被分解，并从i开始，将它的所有倍数（i*2, i*3, ...）标记为不是质数。这里的标记方法是将 factors[j]的值加1，其中 j 是数字 i的倍数。

最后，我们计算1到n的所有数字的质因数的指数总和，并返回结果。

该程序的时间复杂度为 $O(n\log\log n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。

参考文献：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes