数组的不同质因数

在处理数字相关的问题时，质因数分解是一个非常重要的方法。质因数分解可以将一个数表示成若干个质因子的乘积，其中每个质因子都是不可再分的质数。在本文中，我们将介绍如何使用质因数分解来解决数组中不同质因子的问题。

问题描述

现在给定一个整数数组，你需要计算其中有多少个数的不同质因数个数为 $k$，其中 $k$ 是一个给定的整数。

例如，对于数组 [3, 5, 6, 7]，其中不同质因数个数为 1 的数字为 6 和 7，不同质因数个数为 2 的数字为 3 和 5，因此不同质因数个数为 1 的数字个数为 2，不同质因数个数为 2 的数字个数为 2。

解法分析

我们可以考虑对每个数进行质因数分解，然后计算其质因子的个数。如果某个数的不同质因子个数等于 $k$，则计数器加 1。

问题的关键在于如何快速进行质因数分解。我们可以使用试除法来对每个数进行分解。具体来说，我们从最小质因数开始，将其连续除到无法整除为止，然后选择下一个质数，重复上述过程。

需要注意的是，为了避免重复计数，我们需要对每个数字只计算一次不同质因数个数。

代码实现

def sieve(n):
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False

    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False

    return [x for x in range(n + 1) if is_prime[x]]

def prime_factors(n, primes):
    factors = set()

    for p in primes:
        if p * p > n:
            break

        while n % p == 0:
            factors.add(p)
            n //= p

    if n > 1:
        factors.add(n)

    return len(factors)

def count_numbers(arr, k):
    primes = sieve(max(max(arr), 2))

    count = 0
    seen = set()

    for x in arr:
        if x in seen:
            continue

        if prime_factors(x, primes) == k:
            count += 1

        seen.add(x)

    return count

性能分析

我们使用了试除法来进行质因数分解，因此时间复杂度为 $O(n \sqrt{M})$，其中 $n$ 是数组的长度，$M$ 是数组中的最大值。我们还使用了埃氏筛法来预处理素数，因此时间复杂度为 $O(M \log\log M)$。总时间复杂度为 $O(n \sqrt{M} + M \log\log M)$，空间复杂度为 $O(M)$。

需要注意的是，在 $M$ 不是很大的情况下，使用埃氏筛法进行预处理可能会更加高效。此外，如果需要多次进行查询，那么可以先对数组进行排序，然后使用双指针法进行计算，此时时间复杂度可以优化到 $O(n \log n + M \log M)$。