计数范围 [L, R] 中只有三个设置位的数字

在计算机科学中，二进制数是最基本的表示数字的方式。一个二进制数字可以看作是一串由 0 和 1 组成的比特位(bit)。例如，1011101 是一个二进制数，它表示的是十进制数 93。

假设现在给出一个计数范围 [L, R]，求解在此范围内所有只包含三个比特位的数字有哪些。本文将介绍两种解决此问题的算法。

算法一

对于一个只包含三个比特位的数字，它的计算公式可以表示为 0b1xx1x1x 或 0b10x1xx1，其中 "x" 代表 "0" 或 "1"。

可以通过双重循环遍历所有位数为 8 的数字，判断其中是否只包含三个比特位并在给定范围内。该算法的代码如下：

def find_three_bits_numbers(L: int, R: int) -> List[int]:
    result = []
    for i in range(256):
        if L <= i <= R and (i & 0b10101010) == 0b10101000:
            result.append(i)
        elif L <= i <= R and (i & 0b10101011) == 0b10001001:
            result.append(i)
    return result

该算法的时间复杂度为 O(256)，即常数时间，因为我们只需要遍历范围内的所有位数为 8 的数字。算法的空间复杂度为 O(k)，其中 k 表示符合条件的数字的数量。

算法二

如果只包含三个比特位的字符中，其中两位的位置是固定的，比如 0 和 6，那么我们可以将问题简化为找出满足条件的剩余比特位的组合，再与位置固定的两位组合在一起。

我们可以通过生成一个二维数组 bits，其中每个元素表示位于二进制数中的位置（从右向左数）。对于一个只包含三个比特位的数字，其中两个比特位的位置是固定的，因此只需要从其他位置中选择两个即可。

该算法的代码如下：

def find_three_bits_numbers(L: int, R: int) -> List[int]:
    bits = [
        [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7],
        [0, 1, 2, 3, 4, 5, 7],
        [0, 1, 2, 3, 4, 6, 7],
        [0, 1, 2, 3, 5, 6, 7],
        [0, 1, 2, 4, 5, 6, 7],
        [0, 1, 3, 4, 5, 6, 7],
        [0, 2, 3, 4, 5, 6, 7],
        [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
    ]
    
    result = []
    
    for i in range(8):
        for j in range(i+1, 8):
            for x in range(2**len(bits[i])):
                for y in range(2**len(bits[j])):
                    n = ((x << bits[i][0]) | (y << bits[j][0])) & 0b11111111
                    if L <= n <= R:
                        result.append(n)
    
    return result

该算法的时间复杂度为 O(2^k)，其中 k 表示一个只包含三个比特位的数字中的所有比特位的数量。该算法的空间复杂度为 O(1)。该算法比第一种算法更加普适，因为它不需要对每个数字进行判断，而是只需进行简单的组合。