使所有数组元素相等所需的最小增量或减量 D

简介

在给定一个长度为 $n$ 的数组 $nums$，每次可以将其中一个元素加 $1$ 或减 $1$，请求出将所有元素变成相等的最小操作次数。

方法

对于这个问题，我们需要使用贪心算法来解决。我们可以按顺序从小到大排序数组 $nums$，同时维护前面的元素的和 $sum$。当我们考虑到 $nums_i$ 时，我们将其减去前面所有元素的和 $sum$，这样就可以计算出将 $nums_i$ 变为 $sum$ 所需的最小操作次数 $D_i$。然后，我们在计算完所有 $D_i$ 后，将它们相加即可得到将数组所有元素变为 $sum$ 所需的最小操作次数。

具体地，我们可以按以下步骤来实现：

1. 对数组 $nums$ 进行排序。
2. 用变量 $sum$ 来记录前面元素的和，初始值为 $0$。
3. 遍历数组 $nums$，在每个位置 $i$ 计算 $D_i$。
   • $D_i = (nums_i - sum - i) + (i - (n-1-i))$，其中 $n$ 为数组长度。
4. 将所有 $D_i$ 相加即可得到答案。

代码实现如下：

def minMoves2(nums):
    n = len(nums)
    nums.sort()
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
    ans = 0
    for i in range(n):
        ans += abs(nums[i] - sum//n - i + (n-1-i))
    return ans//2

复杂度分析

时间复杂度：$O(n \log n)$，其中 $n$ 为数组长度。排序数组 $nums$ 的时间复杂度为 $O(n \log n)$，计算 $D_i$ 的时间复杂度为 $O(1)$，求和的时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度：$O(1)$。我们只需要常数的额外空间来存储变量。

示例

对于数组 ${1, 2, 3}$，我们按照以上方法可以得到 $sum = 6$，$D_0 = 1$，$D_1 = 0$，$D_2 = 1$。因此，将所有元素变为 $2$ 所需的最小操作次数为 $D_0 + D_1 + D_2 = 2$。

总结

本题使用贪心算法可以在较短的时间内解决。在实现过程中，需要注意计算 $D_i$ 的公式，以及整数除法导致的精度问题。