在 K 次操作后最大化最大和最小数组元素之间的差异

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 nums 和一个非负整数 k（k <= n），你需要执行最多 k 次操作，每次操作将会把 nums 中的某个元素加上 1 或减去 1。你需要将数组中的最大值和最小值之差最大化。

算法分析

线性扫描

可以通过线性扫描的方法计算需要的最大值和最小值，并得出最大值与最小值之差。具体方法如下：

1. 执行 k 次操作，这里我们假设执行增加操作，具体可以通过控制增加或减少操作的执行次数来实现。
2. 找出当前数组中的最大值与最小值。
3. 如果当前最大值和最小值之差小于等于 1，则说明无法通过执行操作来使差值变大，直接返回当前差值。
4. 通过比较当前最大值与 n-1 和最小值与 0 的距离，选择需要操作的元素进行增加或减少操作，直到差值大于 1。

二分查找

使用二分查找来寻找可行的最大值和最小值之差也是一种方法。具体方法如下：

1. 通过二分查找找到一个 mid 值，从而得到一个最大值 max 和一个最小值 min。
2. 检查当前数组中是否存在一个最大值与最小值之差大于等于 mid 的子序列。
3. 如果存在，则说明 mid 是一个可行解，否则，mid 不是一个可行解。
4. 通过二分查找来寻找最大的可行解。

复杂度分析

线性扫描

时间复杂度：O(kn)

空间复杂度：O(1)

二分查找

时间复杂度：O(nlogn)

空间复杂度：O(1)

代码实现

线性扫描

def maxDifference(nums: List[int], k: int) -> int:
    i, j = 0, len(nums) - 1
    for _ in range(k):
        if i > j:
            break
        if nums[i] < nums[j]:
            nums[i] += 1
        else:
            nums[j] -= 1
        i += 1
        j -= 1
    return nums[j] - nums[i] if nums[j] - nums[i] > 1 else 1

二分查找

def maxDifference(nums: List[int], k: int) -> int:
    def check(mid):
        left, right = 0, len(nums) - 1
        for _ in range(k):
            if left > right:
                break
            if nums[right] - nums[left] > mid:
                nums[left] += mid
                nums[right] -= mid
            else:
                nums[left] += (nums[right] - nums[left])
                nums[right] = nums[left]
            left += 1
            right -= 1
        return nums[right] - nums[left] >= mid
    
    nums = sorted(nums)
    left, right = 0, max(nums) - min(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        if check(mid):
            left = mid
        else:
            right = mid - 1
    return left

总结

本文介绍了两种最大化最大值和最小值之差的算法，即线性扫描和二分查找。两种算法时间复杂度和空间复杂度都有所区别，本质上都是通过操作数组的方式来得出最终的差值。在实际编程中，可以根据实际情况来选择合适的算法。