带有非负和的最长子序列

介绍

子序列是指在原序列中取出若干个元素，保持元素在原序列中的相对顺序不变所形成的一个新的序列。

最长子序列是指在一个序列中，长度最长的且符合特定条件的子序列。本文讨论的是带有非负和的最长子序列问题。即给定一个序列，找到一个最长的子序列，使得子序列中所有元素之和非负。如果原序列中所有元素之和为负数，则最长子序列为空。

解法

Dynamic Programming

带有非负和的最长子序列可以使用动态规划求解。定义 $dp_i$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最长子序列的长度。则有如下的状态转移方程：

$$ dp_i = \begin{cases} 0 & \text{if } i=0 \text{ and } a_i<0 \ 1 & \text{if } i=0 \text{ and } a_i\geq0 \ dp_{i-1}+1 & \text{if } i\geq1 \text{ and } \sum_{k=i-dp_{i-1}}^i a_k\geq0 \ 1 & \text{if } i\geq1 \text{ and } \sum_{k=i-dp_{i-1}}^i a_k<0 \end{cases} $$

其中，$dp_0=0$，$a_i$ 表示原序列中第 $i$ 个元素的值。$d$ 是一个参数，表示最长子序列中相邻两个元素之间的最大距离。可以发现，该状态转移方程具有后效性。即 $dp_i$ 的值依赖于 $dp_{i-1}$ 的值。

下面给出一个 Python 代码示例：

def longest_positive_subsequence(a, d):
    n = len(a)
    dp = [0] * n
    for i in range(n):
        if i == 0:
            dp[i] = 1 if a[i] >= 0 else 0
        else:
            s = 0
            for j in range(i, max(-1, i - d), -1):
                s += a[j]
                if s >= 0:
                    dp[i] = dp[j - 1] + i - j + 1
                    break
            if s < 0:
                dp[i] = 1
    return max(dp)

其中，函数 longest_positive_subsequence 接受两个参数：原序列 a 和参数 d。函数返回一个整数，表示带有非负和的最长子序列的长度。

Sliding Window

可以使用滑动窗口的方法求解带有非负和的最长子序列问题。定义两个指针 $i$ 和 $j$，分别表示窗口的左右边界。使用双指针遍历原序列，每次向右移动右指针 $j$，直到满足窗口内所有元素之和为非负数为止。此时，将窗口的长度记录下来，并向右移动左指针 $i$。重复以上过程，直到遍历完原序列为止。

下面给出一个 Python 代码示例：

def longest_positive_subsequence(a):
    n = len(a)
    i = j = 0
    s = 0
    ans = 0
    while j < n:
        s += a[j]
        while s < 0 and i <= j:
            s -= a[i]
            i += 1
        ans = max(ans, j - i + 1)
        j += 1
    return ans

其中，函数 longest_positive_subsequence 接受一个参数 a，表示原序列。函数返回一个整数，表示带有非负和的最长子序列的长度。