具有非负和的最长子序列

最长子序列问题是计算机科学中的一个重要问题，涉及到字符串、数列等。具有非负和的最长子序列是其中的一种。

问题描述

给定一个长度为n的数列a1, a2, ..., an，找出其中的一个最长的连续子序列，使得这个子序列中所有元素的和非负。如果不存在这样的连续子序列，则返回空序列。

例如，对于数列[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，其具有非负和的最长子序列为[4, -1, 2, 1]，长度为4。

解法

这个问题可以用动态规划求解。设f[i]表示以ai结尾的具有非负和的最长子序列的长度，则有以下转移方程：

f[1] = 1（由一个元素组成的序列，只有该元素非负，故一定是具有非负和的） f[i] = max{f[j]+1} (i>j, a[i]+a[i-1]+...+a[j]>0)

其中，当i>j时，a[i]+a[i-1]+...+a[j]表示从第j个元素到第i个元素的和。

最终的结果就是f中的最大值。

具体实现时，可以使用一个变量maxlen来记录最长子序列的长度，以及两个指针start和end来记录最长子序列的起始和结束位置。在每次更新f[i]时，如果f[i]>maxlen，则更新maxlen、start和end。

def max_sum_subseq(nums):
    n = len(nums)
    f = [1] * n
    maxlen = 1
    start = 0
    end = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i]+sum(nums[j:i]) >= 0:
                f[i] = max(f[i], f[j]+1)
        if f[i] > maxlen:
            maxlen = f[i]
            start = i - maxlen
            end = i
    if maxlen == 1 and nums[0] < 0:
        return []
    else:
        return nums[start:end+1]

复杂度分析

此算法的时间复杂度为O(n^2)，因为它需要计算每个元素与之前的元素之和，并比较以每个元素结尾的具有非负和的最长子序列的长度。

空间复杂度为O(n)，因为需要一个数组f来记录以每个元素结尾的具有非负和的最长子序列的长度。

总结

具有非负和的最长子序列是最长子序列问题的一个变种，可以使用动态规划求解。此算法时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。