具有最大和的最长子数组

在计算机科学中，最大子数组问题是指在一个数组中，寻找由连续的一段数组成的子数组，使得该子数组中的所有元素的和最大。

通常情况下，最大子数组问题可以通过动态规划或者分治算法来解决，时间复杂度为 $O(n\log n)$ 或者 $O(n)$。以下是两种算法的实现代码。

动态规划实现

使用动态规划的思想，定义 state[i] 表示以第 i 个元素结尾的子数组的最大和。然后我们可以得出以下状态转移方程：

state[0] = nums[0]
for i in range(1, len(nums)):
    state[i] = max(nums[i], state[i-1]+nums[i])

最终答案是所有 state 中的最大值。

完整的 Python 代码如下：

def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
    state = [0] * len(nums)
    state[0] = nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        state[i] = max(nums[i], state[i-1]+nums[i])
    return max(state)

分治算法实现

使用分治算法的思想，将数组分成左右两个子数组 L 和 R，分别求解左右两个子数组的最大子数组 sumL 和 sumR，然后再求解跨越左右两个子数组的最大子数组 sumM，最终答案是 sumL、sumR 和 sumM 三者中的最大值。

分治算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

完整的 Python 代码如下：

def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]

    mid = len(nums) // 2
    left = nums[:mid]
    right = nums[mid:]

    sumL = maxSubArray(left)
    sumR = maxSubArray(right)

    crossL = -float('inf')
    crossR = -float('inf')
    curr_sum = 0
    for i in range(mid-1, -1, -1):
        curr_sum += nums[i]
        if curr_sum > crossL:
            crossL = curr_sum

    curr_sum = 0
    for i in range(mid, len(nums)):
        curr_sum += nums[i]
        if curr_sum > crossR:
            crossR = curr_sum

    sumM = crossL + crossR

    return max(sumL, sumR, sumM)

以上两种算法都可以在 LeetCode 上的最大子数组问题中找到，建议多练习，加深理解。