具有最大GCD的最长子数组

在计算机科学中，最长子数组问题是一个经典的问题，它要求在给定数组中寻找一个最长子数组，使得该子数组中的所有元素的最大公约数（GCD）是最大的。

问题描述

给定一个整数数组 nums，找到其中一个具有最大 GCD 的连续子数组，并返回该子数组的长度。

解决方案

这个问题可以通过使用动态规划来解决。我们可以定义一个变量 dp[i]，来表示截止到第 i 个元素时以第 i 个元素为结尾的具有最大 GCD 的子数组的长度。

使用一个二重循环来计算 dp[i]。总的时间复杂度为 $O(n^2\sqrt{max(nums)})$。我们可以通过使用一个哈希表来优化时间复杂度。

def find_subarray_length_with_largest_gcd(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    res = 1
    
    for i in range(n):
        for j in range(i-1, -1, -1):
            if nums[i] % nums[j] != 0:
                continue
            gcd = nums[j]
            for k in range(j, i):
                gcd = math.gcd(gcd, nums[k])
            if gcd == nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        
        res = max(res, dp[i])
    
    return res

优化解决方案

我们可以使用一个哈希表来优化第二重循环的时间复杂度。我们可以预处理出所有数的质因数分解。然后对于每个数 nums[i]，我们可以得到它的所有质因数。我们可以枚举每个质因数，计算出当前质因数最后一次出现的位置 pos。如果 pos 不在 [i - len + 1, i] 中，那么就继续向下搜索。

这样，我们可以省去内部循环中计算 GCD 的时间，从而将时间复杂度降低到 $O(n^2log^2(max(nums)))$。

def find_subarray_length_with_largest_gcd(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    res = 1
    f = collections.defaultdict(int)
    
    for i in range(n):
        factors = get_factorization(nums[i])
        
        for factor in factors:
            if factor not in f:
                f[factor] = i
            elif f[factor] >= i-res+1:
                continue
            else:
                length = i - f[factor] + 1
                res = max(res, length)
                f[factor] = i
    
    return res
        

def get_factorization(num: int) -> List[int]:
    result = []
    for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
        cnt = 0
        while num % i == 0:
            num /= i
            cnt += 1
        if cnt > 0:
            result.append(i)
    
    if num > 1:
        result.append(num)
    
    return result

总结

最长子数组问题是一个经典的问题，它可以通过动态规划来解决。本题还可以通过使用哈希表来优化时间复杂度。