GATE 2017 MOCK II |问题13

题目描述

给定两个有序数组 $a$ 和 $b$，大小分别为 $m$ 和 $n$，找到这两个数组的中位数，要求时间复杂度 $O(\log(m+n))$。

思路分析

中位数是一个统计学概念，即把一个集合分为相等的左右两个部分，左边部分的各元素都不大于右边部分的各元素，则中位数即为左右两部分元素最中间的那个数，其左右部分元素个数相同或相差不超过1。这个概念在计算机领域也有着广泛的应用，例如排序、数据压缩、图像处理等。

本题要求找到两个有序数组的中位数，因此我们需要先了解一下有序数组的特点。我们可以通过比较两个有序数组元素的大小，来确定如何缩小寻找中位数的区间。

对于两个有序数组 $a$ 和 $b$，我们需要先确定一个中间点 $i$，同时保证第一个数组中位数左边元素集合的大小（$i$ 之前的元素）与第二个数组中位数左边元素集合的大小（$j$ 之前的元素）之和为 $(m+n+1)//2$。这个中间点 $i$ 可以使用二分法来确定。

接下来，我们比较第一个数组中的元素 $a[i-1]$ 和第二个数组中的元素 $b[j-1]$，若 $a[i-1]\leq b[j]$，则表示当前缩小寻找中位数的区间左边界 $low$ 需要向右移动，因为两数组的中位数左边应该都包含 $i$ 及其左边的元素，若 $i$ 左边还存在元素的话，则 $i$ 左边最大的数应该是 $a[i-1]$，这时缩小左边界即可；否则，缩小右边界即可。

同理，如果 $a[i-1]>b[j]$，则表示第一个数组的中位数左边的元素集合需要缩小，即缩小区间的右边界 $high$。

重复以上步骤，直到找到中位数，或者某个数组已被完全排除。

代码实现

以下是一种基于上述思路的 Python 代码实现：

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        len1, len2 = len(nums1), len(nums2)
        if len1 > len2:
            nums1, nums2, len1, len2 = nums2, nums1, len2, len1
        low, high = 0, len1
        half_len = (len1 + len2 + 1) // 2
        while low <= high:
            i = (low + high) // 2
            j = half_len - i
            if i < len1 and nums2[j-1] > nums1[i]:
                low = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
                high = i - 1
            else:
                if i == 0:
                    max_of_left = nums2[j-1]
                elif j == 0:
                    max_of_left = nums1[i-1]
                else:
                    max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                if (len1 + len2) % 2 == 1:
                    return max_of_left
                if i == len1:
                    min_of_right = nums2[j]
                elif j == len2:
                    min_of_right = nums1[i]
                else:
                    min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
                return (max_of_left + min_of_right) / 2

其中，变量 $low$、$high$ 分别表示缩小区间的左右边界，$i$、$j$ 分别表示数组 $a$、$b$ 的中间点，$half_len$ 表示合并数组最终的中间点。我们使用 Python 自带的二分法函数，将 $low$、$high$ 中位点的值保留在 $i$ 和 $j$ 中。

代码中判断 $I < len1$ 并且 $B[j-1] > A[i]$ 的情况，是表示当前的 $i$ 值偏小，需要将 $i$ 左移才能保证 $I$ 左边的元素（即元素 $0 \sim i-1$）都小于 $J$ 右边的元素（即 $B[j]$），在移动左指针 $low$ 的过程中，我们要将 $i$ 加一。

同理，如果 $A[i-1] > B[j]$, 表示当前的 $i$ 值偏大，需要将 $i$ 右移才能保证 $J$ 左边的元素都小于 $I$ 右边的元素。

最后，我们找到了第一个比第二个数组中第 $j$ 个元素大的元素 $A[i-1]$ 和第一个比第一个数组中第 $i$ 个元素大的元素 $B[j-1]$，将二者最大值赋值到变量 $max_of_left$ 中作为中位数的左半部分。接下来，我们只需要比较数组 $a$ 的右半部分和数组 $b$ 的右半部分的最小值，即可得到中位数的右半部分。如果数组长度是偶数，则中位数是左半部分和右半部分的平均值，否则中位数就是左半部分的最大值。

总结

本题主要考察了面试者的二分法应用能力，同时也考察了面试者处理问题的问题抽象能力和理解能力。我们需要搞清楚题目中的概念（例如中位数），明确我们需要做什么以及如何做，然后按照顺序一步一步地完成代码实现，特别是对 $I$ 和 $J$ 的值处理要准确。