求所有区间的交点

在计算机程序设计中，经常需要对多个区间进行操作。求所有区间的交点，是一个常见的问题。下面介绍两种解决方法。

方法一：暴力破解

这种方法直接遍历所有的区间，求它们的交点。时间复杂度为 $O(n^{2})$。

def intersection(points):
    res = []
    for i in range(len(points)-1):
        for j in range(i+1, len(points)):
            if points[i][1] >= points[j][0] and points[i][0] <= points[j][1]:
                res.append((max(points[i][0], points[j][0]), min(points[i][1], points[j][1])))
    return res

其中 points 是区间的列表，每个区间表示为一个元组 (start, end)，表示左端点和右端点的位置。

方法二：扫描线算法

这种方法将所有区间的端点按照坐标排序，然后扫描一遍整个数组，求出所有交点。时间复杂度为 $O(n\log n)$。

def intersection(points):
    res = []
    events = []
    for p in points:
        events.append((p[0], 1, p))
        events.append((p[1], -1, p))
    events.sort()
    active = []
    for e in events:
        if e[1] == 1:
            active.append(e[2])
            if len(active) == len(points):
                res.append(e[0])
        else:
            active.remove(e[2])
    return res

其中 events 是事件列表，每个事件表示为一个元组 (coord, type, point)，表示坐标，类型和区间。坐标表示左端点或右端点的位置，类型为 1 表示左端点，-1 表示右端点。active 是当前有交集的区间。

结论

上述两种方法都可以用来求所有区间的交点。暴力破解方法简单容易理解，但时间复杂度较高；扫描线算法效率更高，但需要对事件列表和活动区间进行管理。实际应用时，可以根据问题的具体情况选择合适的算法。