计算给定直线的交点数

我们需要计算给定直线上两个点 $(i,0)$ 和 $(j,1)$ 之间的交点数。为了解决这个问题，我们可以使用以下公式:

$$y = mx + b$$

其中，$m$ 是直线的斜率，$b$ 是直线的截距。假设两条直线的方程分别为 $y_1 = m_1 x + b_1$ 和 $y_2 = m_2 x + b_2$，则它们的交点为:

$$x = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}$$

$$y = m_1 \left(\frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}\right) + b_1$$

方法一: 穷举

我们可以通过穷举给定区间（即 $(i,0)$ 至 $(j,1)$）内的线段，计算交点的总数。这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，不适用于较长的线段。

下面是一段穷举方法的 Python 代码：

def count_intersection_1(i, j):
    count = 0
    for x1 in range(i, j):
        for x2 in range(x1+1, j+1):
            y1, y2 = 0, 1
            m1, b1 = (y2-y1)/(x2-x1), y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1
            for x3 in range(i, j):
                for x4 in range(x3+1, j+1):
                    y3, y4 = 0, 1
                    m2, b2 = (y4-y3)/(x4-x3), y3-(y4-y3)/(x4-x3)*x3
                    if m1 == m2:
                        continue
                    xi = (b2 - b1) / (m1 - m2)
                    yi = m1 * xi + b1
                    if i <= xi <= j and 0 <= yi <= 1:
                        count += 1
    return count

方法二: 数学公式

根据上面提到的公式，我们可以直接计算出 $(i,0)$ 和 $(j,1)$ 之间的直线与给定直线的交点数。这种方法的时间复杂度为 $O(1)$。

下面是一段用数学公式计算交点数的 Python 代码：

def count_intersection_2(i, j):
    m1, b1 = (1-0)/(j-i), 0
    m2, b2 = (0-1)/(j-i), 1-(0-1)/(j-i)*j
    if m1 == m2:
        return 0
    xi = (b2 - b1) / (m1 - m2)
    yi = m1 * xi + b1
    if i <= xi <= j:
        return 1
    return 0