通过每次移动两次向前跳跃或一次向后跳跃来最小化到达数组末端的成本

1. 问题描述

给定一个整数数组，每次可以向前跳跃两个位置或向后跳跃一个位置，计算到达数组末端的最小成本。

2. 解决方案-动态规划

为了计算到达数组末端的最小成本，我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义一个长度为n的数组dp，其中dp[i]表示到达数组第i个位置的最小成本。具体地，

• 当i=0时，dp[0]=0，表示到达数组第一个位置的最小成本为0。

• 当i=1时，dp[1]=abs(nums[1]-nums[0])，表示第一次跳跃到达数组第二个位置的最小成本为当前位置与上一个位置的差值。

• 当i=2时，dp[2]=min(dp[1]+abs(nums[2]-nums[1]), abs(nums[2]-nums[0]))，表示第一次跳跃到达数组第三个位置的最小成本。这里，两种情况需要考虑：

  • 考虑从上一个位置跳转过来的情况，即从i-1位置跳转到i位置，此时跳跃的成本为 |nums[i]-nums[i-1]|，再加上到达i-1位置的最小成本 dp[i-1]。
  • 考虑从第二个位置直接跳转到i位置的情况，此时跳跃的成本为 |nums[i]-nums[0]|。

• 当i>=3时，我们需要考虑从哪个位置跳跃过来，得到状态转移方程：

  $$ \text{dp}[i]=\min(\text{dp}[i-2]+2\times\lvert\text{nums}[i]-\text{nums}[i-2]\rvert, \text{dp}[i-1]+\lvert\text{nums}[i]-\text{nums}[i-1]\rvert) $$

其中 $\text{dp}[i-2]+2\times\lvert\text{nums}[i]-\text{nums}[i-2]\rvert$ 表示从位置 $i-2$ 跳跃到位置 $i$，跳跃两次的成本，$\text{dp}[i-1]+\lvert\text{nums}[i]-\text{nums}[i-1]\rvert$ 表示从位置 $i-1$ 跳跃到位置 $i$，跳跃一次的成本。

最后，我们只需要返回 $\text{dp}[n-1]$ 即可。

3. 代码实现

def jump_cost(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[1] = abs(nums[1] - nums[0])
    for i in range(2, n):
        dp[i] = min(dp[i-2]+2*abs(nums[i]-nums[i-2]), dp[i-1]+abs(nums[i]-nums[i-1]))
    return dp[n-1]

4. 总结

动态规划是解决最短路径问题的一种常见方案，可以有效地解决此类问题。在实际工作中，我们需要灵活应用动态规划算法来解决各种实际问题。