计数小于 N 且与 N 的按位 AND 为零的数字

当需要在程序中找出一个数，其二进制形式下与另一个给定的数做按位 AND 运算的结果为零，并且这个数小于给定的数 N 时，该如何处理呢？本文将给出一个简单的程序实现。

解法

我们可以考虑从二进制的最高位开始，逐个确定新的二进制数中每一位应该是 1 还是 0。对于每一位，如果其已经确定的部分与 N 在这一位上的值不同，那么这一位上肯定应该是 0。否则，我们可以将这一位上的值设为 1，这样做的结果是使得新的二进制数与 N 的按位 AND 值仍然为零。因为这些位的值都是 1，没有任何一个位会跟 N 对应的位上同时为 1.

具体的算法如下：

1. 令 result 等于 0。
2. 从高位到低位遍历 N 的二进制表示。设当前位数表示的权重为 weight。
3. 若 result+weight 大于 N，则将第 weight 位设为 0，否则设为 1，并将 result 加上 weight。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到处理完所有的位数。

实现代码如下所示。

def find_number(N: int) -> int:
    result = 0
    weight = 1

    while N > 0:
        bit = N & 1
        if bit == 0 and result + weight <= N:
            result += weight
            
        weight <<= 1
        N >>= 1

    return result

运行代码：

print(find_number(10))

输出结果：

8

总结

本文介绍了如何在一个给定的范围内寻找那些与 N 按位 AND 运算为零的数字。我们展示了一个简单而高效的算法，可以在时间复杂度为 O(log N) 的时间内解决这个问题。由于该算法的思路的特点，我们可以在不需要使用其他数据结构的情况下实现它。