来自给定数组的对和它们的按位 AND 的按位 AND 的总和

本主题涉及到算法相关的概念，如“按位 AND”、“数组的对和”。以下将进行详细介绍。

按位 AND

按位 AND 是指将两个数字的二进制数进行逐位比较，只有在相应位上都为 1 时，结果这一位才为 1。示例如下：

a: 10101101
b: 11111000
a & b: 10101000

数组的对和

数组的对和是指取出数组中所有不同的数对，并计算这些数对的和。示例如下：

array: [1,2,3]
pairs: (1,2), (1,3), (2,3)
sum: 1+2+1+3+2+3 = 12

主题的具体实现

给定一个数组 nums，定义其“对和的按位 AND 的按位 AND 的总和”为：

$$\sum_{i<j} (nums_i & nums_j) & (nums_i & nums_j)$$

其中 $&$ 为按位 AND 运算。

以下为示例 Python 代码实现：

class Solution:
    def totalHammingDistance(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(30):
            c = sum(((x >> i) & 1) for x in nums)
            ans += c * (n-c)
        return ans * 2

以上实现的时间复杂度为 $O(n \log \max{a_i})$，其中 $n$ 为数组长度，$\max{a_i}$ 为数组中的最大值。算法的关键在于计算每一位上的贡献，即计算所有数对在这一位上的异或和。详细证明可参考 LeetCode 上的官方题解（英文 / 中文）。