计数2的幂的唯一子序列

问题描述：给定一个数字，计算其唯一子序列的数量，其中所有数字均为2的幂。

样例

输入：10

输出：11

解释：唯一的子序列为[1,2,4,8,10]

解法

当前数字可以被表示为2的幂的和，例如10可以表示为2^3 + 2^1即8+2。那么我们可以将其表示为二进制的形式。例如，10的二进制为1010，我们可以通过将该数字看作一些1和0的组合来将其表示为2的幂的和。例如，1010可以被表示为2^3+2^1。

我们可以使用一个int类型的变量来存储当前数字的二进制表示，并使用位运算来遍历其所有的二进制位。对于每个位，我们将其与1相与。如果该位上的值为1，我们就将其表示为2的幂。

代码

def countUniqueSubsequences(n: int) -> int:
    # 将数字n表示为二进制
    binary = bin(n)[2:]
    # 用一个数组存储当前数字可以表示为2的幂的和的情况
    nums = [0] * len(binary)
    for i in range(len(binary)):
        if binary[i] == "1":
            nums[i] = pow(2, len(binary)-i-1)
    # 寻找全部子序列
    res = set()
    def dfs(track, idx):
        if track:
            res.add(tuple(track))
        for i in range(idx, len(nums)):
            dfs(track + [nums[i]], i+1)
    dfs([], 0)
    return len(res)

性能

时间复杂度：O(2^n)

空间复杂度：O(n)

其中n是数字n的二进制位数。算法的性能取决于生成完整子序列的时间复杂度。由于一共有2^n个子序列，因此时间复杂度为O(2^n)。由于递归深度最大为n，因此空间复杂度为O(n)。