从按位 OR 大于按位 AND 的数组中计算对

在计算机程序中，我们常常需要比较不同数据类型的大小，比如整数、浮点数、字符等。但是在某些情况下，我们需要比较的是二进制数据的大小，也就是按位操作。本文将介绍如何从按位 OR 大于按位 AND 的数组中计算对。

按位运算

在介绍如何计算对之前，让我们先简单回顾一下按位运算。按位运算是针对二进制数据进行的操作，主要包括以下几种：

• 按位 AND (&)：两个二进制数对应位上的值都为 1 时，结果为 1；否则为 0。
• 按位 OR (|)：两个二进制数对应位上的值有一个为 1 时，结果为 1；否则为 0。
• 按位异或 (^)：两个二进制数对应位上的值相同为 0，不同为 1。
• 按位取反 (~)：将二进制数的每一位取反（0 变为 1，1 变为 0）。

按位 OR 大于按位 AND 的数组中计算对

现在我们来考虑如何从按位 OR 大于按位 AND 的数组中计算对。具体的，我们定义一个数组 $A$，其中 $A_i$ 表示第 $i$ 个元素的值。我们需要找到数组中的一对元素 $(A_i, A_j)$，使得 $A_i \operatorname{OR} A_j > A_i \operatorname{AND} A_j$，其中 $\operatorname{OR}$ 和 $\operatorname{AND}$ 分别表示按位 OR 和按位 AND 运算。

直接暴力枚举肯定行不通，我们需要设计一种高效的算法。具体来说，我们可以考虑按照二进制位从高到低的顺序进行判断。对于一对元素 $(A_i, A_j)$，假设它们在某一位上的状态分别为 $x$ 和 $y$，我们需要判断 $A_i \operatorname{OR} A_j$ 和 $A_i \operatorname{AND} A_j$ 的值与它们的状态的关系。根据按位 OR 和按位 AND 运算的特点，我们可以列出以下等式：

$$ \begin{aligned} (x|y) + (x&y) &= x+y \ (x|y) - (x&y) &= (x-x&y)+(y-x&y) \ (x|y) - (x&y) &= ((x&\neg y)|(\neg x&y))-(x&y) \ (x|y) - (x&y) &= (x^\neg y)\operatorname{AND}(x\operatorname{OR}\neg y) \end{aligned} $$

其中 $\neg$ 表示按位取反运算，$^\neg$ 表示按位异或运算，$\operatorname{AND}$ 和 $\operatorname{OR}$ 分别表示按位 AND 和按位 OR 运算。对于第一个等式，我们可以发现，无论 $x+y$ 的值是多少，都有 $(x|y) + (x&y) \ge x+y$，因为按位 OR 运算会将 $1$ 填满原来的两个二进制数中的所有位置，所以 $(x|y)$ 的每一位都不会比它对应的 $x$ 和 $y$ 的对应位上的值小。同理，按位 AND 运算会将 $0$ 填满原来的两个二进制数中的所有位置，所以 $(x&y)$ 的每一位都不会比其对应的 $x$ 和 $y$ 的对应位上的值大。

对于第二个等式，我们可以将 $(x|y)$ 表示为 $(x-x&y)+(y-x&y)$ 的形式，然后将 $(x-x&y)$ 表示为 $(x&\neg y)$，$(y-x&y)$ 表示为 $(\neg x&y)$，即可得到等式。

对于第三个等式，我们可以将 $(x&\neg y)$ 表示为 $(x&\neg y)|(y&\neg x)$，然后将 $(y-x&y)$ 表示为 $(\neg x&y)$，即可得到等式。

对于第四个等式，我们可以发现，$(x^\neg y)$ 表示的是 $(x,y)$ 的对称差（即只出现在一个集合中的元素的集合），$(x\operatorname{OR}\neg y)$ 表示的是 $(x,y)$ 的补集，它们的按位 AND 运算结果就是所有只出现在一个集合中的元素及它们的补集的按位取反的结果，即 $(x\operatorname{XOR}y)$，因此等式成立。

综合以上四个等式，我们可以判断 $A_i$ 和 $A_j$ 是否构成一对满足条件的元素。

以下是 Python 3 的实现代码：

def get_pairs(nums):
    pairs = []
    for k in range(31, -1, -1):
        used = set()
        for num in nums:
            if num & (1 << k):
                used.add(num)
        for num in nums:
            if num & (1 << k):
                continue
            if any((num | other) > (num & other) for other in used):
                pairs.append((num, next(p for p in used if (num | p) > (num & p)))))
        used.add(num)
    return pairs

该算法的时间复杂度为 $O(n\log m)$，其中 $n$ 是数组的长度，$m$ 是数组中最大的元素的二进制位数。我们可以通过将最高位从 $31$ 到 $0$ 依次判断来计算出所有的满足条件的元素对。在每一位的判断中，我们需要通过 set 存储所有该位上为 $1$ 的元素，然后对于每个该位上为 $0$ 的元素，只需要检查是否存在一个该位上为 $1$ 的元素满足条件即可。当然，如果数组中所有元素的值都是非负整数，我们也可以不用 set，而是用一个长度为 $m$ 的数组，存储该位上为 $1$ 的元素的值。

结语

本文介绍了如何从按位 OR 大于按位 AND 的数组中计算对。我们通过分析二进制按位运算的特点，设计了一种高效的算法，用于在 $O(n\log m)$ 的时间复杂度内计算出满足条件的元素对。该算法可用于某些排序、搜索、优化等算法中，能够提高算法的效率。