找出指定范围内的最小回文子序列

问题描述

给定一个范围 $[L, R]$，要求在该范围内找到一个长度为偶数的最小回文子序列。

解决方法

方法一

首先，我们需要了解什么是回文子序列。回文子序列是指正序和倒序相同的字符串子序列。

找到最小回文子序列的方法，可以分为两种。

首先是暴力法，依次遍历 $[L, R]$ 中所有可能的子序列，再判断其是否是回文子序列，并记录长度最小的回文子序列。

下面是用 Python 实现的该方法：

def is_palindrome(s):
    return s == s[::-1]

def min_palindrome_subsequence(L, R):
    min_len = float('inf')
    min_subseq = ''
    for i in range(L, R+1):
        for j in range(i+1, R+1):
            subseq = str(i) + str(j)
            if len(subseq) % 2 == 0 and is_palindrome(subseq):
                if len(subseq) < min_len:
                    min_len = len(subseq)
                    min_subseq = subseq
    return min_subseq

以上是用 brute-force 方法实现的算法，使用了函数 is_palindrome 判断是否为回文字符串。

方法二

另一种比较优秀的解法是根据奇偶性分类讨论。

对于偶数长度的回文子序列，显然是由两个相等的部分拼接而成。因此我们只需要枚举所有长度为偶数的字符串，然后判断其是否在 $[L, R]$ 范围内，是否为回文子序列，并记录长度最小的回文子序列。

具体实现见下面的 Python 代码：

def min_palindrome_subsequence(L, R):
    for length in range(2, R-L+1, 2):
        for i in range(L, R-length+2):
            s = str(i) + str(i + length//2)
            if is_palindrome(s):
                return s
    return ''

总结

以上介绍了两种寻找指定范围内最小回文子序列的方法，分别是 brute-force 方法和根据奇偶性分类讨论的方法。

对于本题，方法二的效率更高，时间复杂度为 $O((R-L)^2)$，因为只需枚举所有偶数长度的字符串。而方法一的时间复杂度则为 $O((R-L)^3)$，因为还需枚举所有子序列。