二次判别分析

简介

二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis，QDA）是一种常见的统计学方法，应用于分类问题。它可以被视为线性判别分析（LDA）的扩展，它假设每个类别的协方差矩阵不同。

原理

QDA是一种生成式模型，它假设每个类别的数据都来自于一个高斯分布。因此，我们可以对每个类别建立一个高斯分布模型，即对于类别k：

$p(x|y=k) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma_k|^{\frac{1}{2}}}exp(-\frac{1}{2}(x-\mu_k)^T\Sigma_k^{-1}(x-\mu_k))$

其中，$x$是样本特征向量，$d$是特征维度，$\mu_k$是属于类别k的样本的均值向量，$\Sigma_k$是类别k的样本的协方差矩阵。在训练过程中，我们需要估计每个类别的均值向量和协方差矩阵。

在预测时，我们可以使用贝叶斯公式计算样本属于每个类别的概率：

$P(y=k|x) = \frac{P(y=k)p(x|y=k)}{\sum_{j=1}^{K} P(y=j)p(x|y=j)}$

其中，$K$是类别总数。我们将样本预测为概率最大的类别。

优缺点

与LDA相比，QDA可以更好地拟合复杂的类别边界。然而，它需要估计比LDA更多的参数，因此在样本量较小的情况下容易发生过拟合。

示例

使用Python的sklearn库来演示如何使用QDA进行分类。

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.discriminant_analysis import QuadraticDiscriminantAnalysis

# 加载鸢尾花数据集
data = load_iris()
X, y = data.data, data.target

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)

# 使用QDA模型拟合数据
qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()
qda.fit(X_train, y_train)

# 在测试集上评估模型性能
acc = qda.score(X_test, y_test)
print("QDA accuracy: {:.2f}".format(acc))

结论

二次判别分析是一种强大的分类方法，它可以更好地拟合复杂的类别边界，并且可以处理高维度数据。但在样本量较小的情况下，需要注意过拟合的问题。