二次函数公式介绍

二次函数是高中数学中比较基础也比较重要的概念之一，用来表达抛物线等形状的函数，它的一般式为：

$$ y = ax^2 + bx + c $$

其中 $a, b, c$ 都是实数，$a \neq 0$，$x,y$ 分别是函数的自变量和因变量。

二次函数的图像特点

对于二次函数 $y = ax^2+bx+c$，有以下图像特点：

• 当 $a > 0$ 时，函数的图像开口向上，最低点坐标为 $(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$，其中 $\Delta = b^2-4ac$ 是函数的判别式，表示函数的根的情况。
• 当 $a < 0$ 时，函数的图像开口向下，最高点坐标为 $(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$。

二次函数的顶点式

由于二次函数具有特殊的图像特点，因此我们可以将一般式转化为顶点式，方便我们求解最值、零点等问题：

$$ y = a(x-h)^2+k $$

其中 $(h,k)$ 是函数图像的顶点坐标，可以由一般式进行求解得到：

$$ h = -\frac{b}{2a}, k = c-\frac{b^2}{4a} $$

二次函数在计算机程序中的应用

二次函数在计算机程序中有着丰富的应用，例如：

• 图像处理：采用二次曲线拟合法，将图像的形状拟合为二次函数，以避免图像上的噪点和误差。
• 游戏开发：用二次函数控制游戏中角色的运动轨迹和跳跃高度等。
• 物理模拟：二次函数可以用于近似描述抛射物的运动，例如在游戏中实现一个投掷物的轨迹。

# Python 示例代码
import math

def quadratic_function(a, b, c, x):
    # 计算二次函数在 x 处的值
    return a * x * x + b * x + c

# 根据二次函数的顶点式计算最值
def get_extreme_value(a, h, k):
    return k if a > 0 else -math.inf, k if a < 0 else math.inf

a, b, c = 1, -2, 1
x = -1
# 计算二次函数在 x = -1 处的值
print(quadratic_function(a, b, c, x))

# 根据一般式计算函数的根
delta = b * b - 4 * a * c
root1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)
root2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)
print('根1:', root1, '根2:', root2)

# 根据一般式计算函数的顶点
h, k = -b / (2 * a), c - b * b / (4 * a)
print('顶点坐标:', (h, k))

# 根据顶点式计算函数的最值
print('最大值:', get_extreme_value(a, h, k)[1], '最小值:', get_extreme_value(a, h, k)[0])

以上是一个关于二次函数在 Python 中的简单示例代码，通过这个代码我们可以看到二次函数在程序中的应用非常丰富，它不仅可以用于简单的计算，还可以套用到各种特殊场景中。