二次公式从何而来？

二次公式，即一元二次方程的通式，是高中数学中比较基础的一部分，其形式为 $ax^2+bx+c=0$。那么，这个公式从何而来呢？

求解一元二次方程

在回答二次公式的来源前，先简单介绍一下求解一元二次方程的方法。我们可以使用配方法、公式法等多种方法，这里主要介绍一下使用公式法的方式。

对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，我们可以使用下面的公式来求解：

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} $$

其中，根号下的部分 $b^2-4ac$ 是判别式，它决定方程的解的情况：

• 若 $b^2-4ac>0$，则方程有两个不相等的实数根；
• 若 $b^2-4ac=0$，则方程有一个重根，即一个实数根；
• 若 $b^2-4ac<0$，则方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。

推导二次公式

有了公式法求解一元二次方程的工具，我们来看看二次公式的来源。为了推导出二次公式，我们先假设方程的两个根分别为 $x_1$ 和 $x_2$：

$$ ax^2+bx+c=0 $$

因为有 $x_1 \neq x_2$，所以可以写出下面的式子：

$$ \begin{aligned} ax^2+bx+c &= a(x-x_1)(x-x_2) \ &= a[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2] \ &= ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2 \ \end{aligned} $$

由此，我们可以得到一个系数的表达式：

$$ \begin{aligned} a &= a \ b &= -a(x_1+x_2) \ c &= ax_1x_2 \ \end{aligned} $$

我们先来看如何求解三个系数中的两个，即 $a$ 和 $c$。因为 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程的解，因此可以代入刚才的公式中去：

$$ \begin{aligned} ax^2+bx+c &= 0 \ a(x_1)^2+b(x_1)+c &= 0 \ a(x_2)^2+b(x_2)+c &= 0 \ \end{aligned} $$

将左边的三个式子代入系数表达式中，我们得到：

$$ \begin{aligned} a &= \frac{c}{x_1x_2} \ b &= -(x_1+x_2)\frac{c}{x_1x_2} \ \end{aligned} $$

将 $a$ 和 $c$ 代入 $b = -(x_1+x_2)a$，我们有：

$$ b = -\frac{(x_1+x_2)c}{x_1x_2} $$

将这个 $b$ 带入方程的通式中，即可得到二次公式：

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(x_1+x_2) \pm \sqrt {(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}}{2} $$

总结

至此，我们已经从数学的角度得出了二次公式的来源和推导过程，这对于程序员学习算法或者数学求解方程等内容，有一定的参考价值。