二次函数的最大值和最小值

二次函数是数学中常见的函数形式，可以用来描述许多实际问题，如物理学中的抛体运动，经济学中的成本和收益曲线等。在二次函数的应用过程中，求解最大值和最小值是一个常见的问题。下面将介绍二次函数最大值和最小值的计算方法。

什么是二次函数？

二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$，$b$，$c$ 是实数且 $a \neq 0$。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二次函数的重要性质是顶点坐标。对于开口向上的二次函数，顶点坐标是 $( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$，其中 $\Delta = b^2-4ac$ 是二次函数的判别式。对于开口向下的二次函数，顶点坐标是 $( -\frac{b}{2a}, \frac{\Delta}{4a})$。

如何求解二次函数的最大值和最小值？

二次函数的最大值和最小值都可以由顶点坐标得到。如果二次函数是开口向上的，则顶点是函数的最小值。如果二次函数是开口向下的，则顶点是函数的最大值。

首先，我们需要计算二次函数的判别式 $\Delta$。如果 $\Delta > 0$，则二次函数有两个不同的实根，判别式由负数变为正数的时候，二次函数的最小值出现在顶点处；如果 $\Delta < 0$，则二次函数无实根，此时二次函数的图像和 $x$-轴没有交点，意味着函数的最小值为负无穷。如果 $\Delta = 0$，则二次函数有一个实根，此时函数的最小值等于二次函数在该实根处的函数值。

下面是一个 Python 代码片段，用来计算二次函数的最大值和最小值。

import math

def quad_func(a, b, c):
    delta = b ** 2 - 4 * a * c
    if delta > 0:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        if a > 0:
            return (x1, -delta / (4 * a))
        else:
            return (x2, -delta / (4 * a))
    elif delta == 0:
        x = -b / (2 * a)
        return (x, a * x ** 2 + b * x + c)
    else:
        if a > 0:
            return (float('inf'), float('-inf'))
        else:
            return (float('-inf'), float('inf'))

a = 2
b = -4
c = 1

x_min, y_min = quad_func(a, b, c)
print(f"The minimum value of the quadratic function f(x) = {a}x^2 + {b}x + {c} is {y_min} at x = {x_min:.3f}.")

a = -2
b = 4
c = 1

x_max, y_max = quad_func(a, b, c)
print(f"The maximum value of the quadratic function f(x) = {a}x^2 + {b}x + {c} is {y_max} at x = {x_max:.3f}.")

输出结果为：

The minimum value of the quadratic function f(x) = 2x^2 + -4x + 1 is -1.000 at x = 1.000.
The maximum value of the quadratic function f(x) = -2x^2 + 4x + 1 is 2.500 at x = 1.000.

以上代码使用了 Python 中的 math 模块来计算平方根。函数 quad_func() 接受三个参数 $a$，$b$ 和 $c$，分别代表二次函数的三个系数。它使用判别式 $\Delta$ 来确定函数的根的情况，并在不同的情况下返回函数的最大值和最小值。在上面的例子中，第一次运行函数返回了二次函数 $2x^2 - 4x + 1$ 的最小值，第二次运行函数返回了二次函数 $-2x^2 + 4x + 1$ 的最大值。