使用链表的多项式除法

在代数中，多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式的过程，其结果是商多项式和余数多项式。使用链表数据结构可以方便地实现多项式除法，本文将介绍如何使用链表来实现多项式除法。

多项式的表示

采用链表表示多项式，每个节点包括指数和系数两个成员。例如，多项式3x^3 + 2x^2 - 5x + 1可以表示为以下链表：

| Node 0 |     | Node 1 |     | Node 2 |     | Node 3 |
|--------| --> |--------| --> |--------| --> |--------|
|   3    |     |   2    |     |  -5    |     |   1    |
|   3    |     |   2    |     |   1    |     |   0    |

链表从左到右按指数从高到低排列。

多项式除法的实现

假设已经有两个多项式A和B，我们要将A除以B。首先，将A和B的链表按照指数从高到低排列。之后，按以下步骤进行：

1. 初始化商为0多项式，余数为A。
2. 如果余数的最高项指数不小于除数B的最高项指数，则进行如下操作：
   1. 计算当前项的系数和除数B的最高项系数之间的商，将其作为当前项的系数。
   2. 将当前项加到商中。
   3. 将余数减去当前项与除数B的乘积。
3. 重复第2步，直到余数的最高项指数小于除数B的最高项指数。
4. 算法结束，得到的商即为A除以B的结果，余数即为A除以B的余数。

实际操作

低假设有以下多项式：

A(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 5x - 1

B(x) = x^2 - 2x + 1

首先，将两个多项式转换成链表表示。

| Node 0 |     | Node 1 |     | Node 2 |     | Node 3 |     | Node 4 |
|--------| --> |--------| --> |--------| --> |--------| --> |--------|
|   3    |     |  -4    |     |   2    |     |   5    |     |  -1    |
|   4    |     |   3    |     |   2    |     |   1    |     |   0    |

| Node 0 |     | Node 1 |     | Node 2 |
|--------| --> |--------| --> |--------|
|   1    |     |  -2    |     |   1    |
|   2    |     |   1    |     |   0    |

然后，按照上述算法进行多项式除法。下面是使用Python实现的代码片段：

def poly_division(dividend, divisor):
    quotient = LinkedList()
    remainder = LinkedList(dividend)
    while remainder.front() and remainder.front().exp >= divisor.front().exp:
        coeff = remainder.front().coeff / divisor.front().coeff
        exp_diff = remainder.front().exp - divisor.front().exp
        quotient.add(Node(coeff, exp_diff))
        divisor_term = divisor.copy()
        divisor_term.scale(coeff, exp_diff)
        remainder.subtract(divisor_term)
    return quotient

这个函数接受两个链表参数，表示被除数和除数。它返回商的链表表示。在函数中，将余数初始化为被除数，然后进行主循环。在每次循环中，计算当前项与除数B的商，并将其添加到商中。然后，将当前项与除数B的乘积从余数中减去。最后，返回商的链表表示。