一个变量中的多项式 - 多项式

在数学中，多项式是由一个变量和系数组成的表达式。多项式的加法、减法、乘法运算在代数中经常用到。本文我们将介绍如何在程序中表示和操作一个变量中的多项式，包括多项式的加减乘和求导等操作。

多项式表示

我们可以用一个数组来表示一个多项式，数组的第i项表示该多项式中$x^i$的系数。例如，多项式$x^3+2x-1$可以表示为[-1, 2, 0, 1]。

多项式加减

多项式的加减运算比较简单，只需要将相同次数的项的系数相加减即可。例如，多项式$x^3+2x-1$加上多项式$2x^2-3x+5$的结果为$x^3+2x^2-x+4$，可以表示为[4, -1, 2, 1]。多项式的减法同理。

多项式乘法

多项式的乘法需要将每一项都和另一个多项式的每一项相乘，然后将结果累加到相应的次数中。因此，我们需要进行两层循环来实现多项式乘法。例如，多项式$x^3+2x-1$乘以多项式$2x^2-3x+5$的结果为$2x^5-3x^4+9x^3+7x^2-13x+5$，可以表示为[5, -13, 7, 9, -3, 2]。

多项式求导

多项式的求导相当于将每一项的系数乘以它的次数，然后将次数减一。例如，多项式$x^3+2x-1$的导数为$3x^2+2$，可以表示为[2, 0, 3]。

实现

下面是用Python实现多项式的加减乘和求导操作的代码片段：

def poly_add(a, b):
    """多项式加法"""
    res = [0] * max(len(a), len(b))
    for i in range(len(a)):
        res[i] += a[i]
    for i in range(len(b)):
        res[i] += b[i]
    return res

def poly_sub(a, b):
    """多项式减法"""
    res = [0] * max(len(a), len(b))
    for i in range(len(a)):
        res[i] += a[i]
    for i in range(len(b)):
        res[i] -= b[i]
    return res

def poly_mul(a, b):
    """多项式乘法"""
    res = [0] * (len(a) + len(b) - 1)
    for i in range(len(a)):
        for j in range(len(b)):
            res[i+j] += a[i] * b[j]
    return res

def poly_diff(a):
    """多项式求导"""
    res = [0] * (len(a) - 1)
    for i in range(1, len(a)):
        res[i-1] = a[i] * i
    return res

以上代码中，poly_add和poly_sub实现了多项式的加减，poly_mul实现了多项式的乘法，poly_diff实现了多项式的求导。在poly_add和poly_sub中，我们使用了一个长度为两个多项式长度的空数组，然后将两个多项式的对应项相加或相减放入这个数组中，最后返回结果。在poly_mul中，我们使用了一个长度为两个多项式长度减一的空数组，然后枚举两个多项式的每一项，将它们的积加入正确的位置中，最后返回结果。在poly_diff中，我们使用了一个长度为多项式长度减一的空数组，然后枚举多项式的每一项，将它的系数乘以它的次数，然后次数减一并放入正确的位置中，最后返回结果。

总结

本文介绍了如何用一个数组来表示一个变量中的多项式，并实现了多项式的加减乘和求导等操作。多项式有广泛的应用，例如在微积分和信号处理中都有应用。了解多项式的相关知识和实现方式，可以让我们更好地理解和应用它们。