乘法多项式简介

乘法多项式是指两个或多个多项式相乘后得到的多项式，通常用于代数运算、数学建模、信号处理等领域。在计算机科学中，乘法多项式经常被用于多项式插值、压缩算法等方面。

基本概念

多项式

多项式是指由一些常数和变量的乘积组成的加和。例如：

$ f(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 7 $

这个多项式包括常数项 $7$ 和三个变量项，对应的系数分别为 $2$、$5$ 和 $-1$。

乘法多项式

两个多项式的乘积可以表示为一个新的多项式，例如：

$ f(x) = (x+2)(x-3) $

展开后得到：

$ f(x) = x^2-x-6 $

这个新的多项式就是一个乘法多项式。

实现方法

在计算机程序中，乘法多项式的实现通常采用多项式的系数表示法（Coefficient Representation）。这种表示法将多项式以系数的形式存储在数组、结构体或矩阵中，从而方便实现乘法操作。

暴力算法

最简单的计算乘法多项式的方法是暴力算法。该方法逐一枚举每一项之间的乘积，然后相加。

假设有两个多项式：

$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 $

$ g(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0 $

它们的乘积可以表示为：

$ h(x) = c_{n+m}x^{n+m} + c_{n+m-1}x^{n+m-1} + ... + c_1x + c_0 $

其中，

$ c_i = \sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j} $

暴力算法时间复杂度为 $O(n^2)$，适用于计算较小的多项式。

快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换是一种高效的计算傅里叶变换的方法，在乘法多项式中也有广泛的应用。该方法可以在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内计算两个多项式的乘积。

快速傅里叶变换方法的详细介绍见其他文章，这里不再赘述。

示例代码

以下是使用 C++ 实现乘法多项式的示例代码。该代码使用暴力算法计算两个多项式的乘积。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 多项式相乘
vector<int> multiply(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    int n = A.size();
    int m = B.size();
    vector<int> C(n + m - 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            C[i + j] += A[i] * B[j];
        }
    }
    return C;
}

// 测试代码
int main() {
    vector<int> A = {2, 5, -1, 7};
    vector<int> B = {1, -3};
    vector<int> C = multiply(A, B);
    for (int i = 0; i < C.size(); i++) {
        cout << C[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}