一个值在 [1, N] 范围内的最大成本，使得值最多位于 K 个给定范围内

问题背景

假设你有一个长度为 $N$ 的数组 $a$ 和 $K$ 个包含两个整数的范围 $[l_1, r_1], [l_2, r_2], ..., [l_k, r_k]$。你需要选择一个值 $x$，使得 $x$ 在 $[1, N]$ 范围内，且 $a_x$ 的值最大。同时，$x$ 最多只能位于 $K$ 个给定范围内。

例如，当 $N=5$, $a=[7, 5, 8, 2, 6]$, $K=2$, 给定的两个范围是 $[1, 3]$ 和 $[4, 5]$，则 $x=3$，$a_x=8$ 是一种可行的解决方案。

本问题可以被转化为一个优化问题，即求取最大值的同时，要保证满足一定的约束条件。因此，可以使用一些优化算法来解决这个问题。

解决方法

方法一：贪心算法

一种可行的解决方案是使用贪心算法。我们可以通过以下步骤得到答案：

1. 找到满足条件的第一个区间，即第一个 $[l, r]$ 满足 $l \leq x \leq r$；
2. 找到所有与第一个区间相交的区间，即所有 $[l_i, r_i]$ 满足 $r \geq l_i$；
3. 在所有与第一个区间相交的区间中，选择 $a_x$ 最大的一个，记为 $[l, r]$；
4. 重复以上步骤，直到选择 $K$ 个区间为止。

具体实现可以参考下面的伪代码：

sort(range) # 按左端点从小到大排序

ans = 0 # 选择的最大的 a_x 值

for i in range:
    if x < l_i:
        break

    if x <= r_i:
        ans = max(ans, a_x)

    if i > K: # 已经选了 K 个区间，就不用再继续找了
        break

return ans

上述算法的时间复杂度为 $O(N \log N)$，因为需要对区间进行排序。

方法二：二分答案

另一种解决这个问题的方法是使用二分答案。我们可以二分 $a_x$ 的值，使得最终选择的区间个数不超过 $K$。具体实现可以参考下面的伪代码：

left = 1 # a_x 的最小值
right = N # a_x 的最大值

while left <= right:
    mid = (left + right) // 2

    count = 0 # 已选择的区间数量
    i = 1
    j = 0

    # 遍历每个区间，看看能不能选择它
    while i <= N and j < K:
        if a_i >= mid:
            count += 1
            i = r_j + 1 # 直接跳过当前区间
            j += 1
        elif i > r_j:
            j += 1 # 切换到下一个区间
        else:
            i += 1 # 不满足条件，继续遍历

    if count >= K:
        ans = mid
        left = mid + 1
    else:
        right = mid - 1

return ans

上述算法的时间复杂度为 $O(N \log N)$。由于需要对 $a$ 进行排序，因此时间复杂度并不比贪心算法优秀。

总结

本文介绍了求解一个值在 $[1, N]$ 范围内的最大成本，使得值最多位于 $K$ 个给定范围内的两种算法：贪心算法和二分答案。这两种算法的时间复杂度均为 $O(N \log N)$。贪心算法非常直观易懂，而二分答案则更加优美和高效。程序员可以选择其中任意一种算法，根据具体情况和个人喜好进行选择。