多项式的除法算法

在代数学中，多项式的除法算法是一种将一个多项式 $D(x)$ 除以另一个多项式 $d(x)$ 得到商 $q(x)$ 和余项 $r(x)$ 的算法。这个算法有许多应用，比如计算最大公因式和最小公倍数，求解不定方程等等。

算法实现

多项式的除法算法可以通过以下步骤实现：

1. 将 $D(x)$ 和 $d(x)$ 的系数对齐，使它们最高次的项对齐。如果 $D(x)$ 的最高次小于 $d(x)$ 的最高次，则 $q(x)$ 为 0，$r(x)=D(x)$。
2. 将 $D(x)$ 的最高次项与 $d(x)$ 的最高次项相除，得到商 $q_1$。
3. 将 $q_1$ 与 $d(x)$ 相乘，得到 $q_1d(x)$。
4. 用 $D(x)$ 减去 $q_1d(x)$，得到差 $D_1(x)$。
5. 如果 $D_1(x)$ 的次数小于 $d(x)$ 的次数，则 $q(x)$ 和 $r(x)$ 均已经得到，否则重复步骤 2 到 4 直到 $D_n(x)$ 的次数小于 $d(x)$ 的次数，此时 $q(x)$ 为 $q_1q_2...q_n$，$r(x)$ 为 $D_n(x)$。

以下是一个 Python 实现的程序代码：

def poly_div(D, d):
    """
    多项式除法算法实现
    :param D: 被除数多项式
    :param d: 除数多项式
    :return: 商多项式和余数多项式
    """
    # 处理最高次项对齐
    while len(D) >= len(d):
        q = [0] * (len(D) - len(d)) + [D[-1] / d[-1]]
        D = [d * q[-1] for d, q in zip(d, q[::-1])] + D[:-len(q)]
        q = q[::-1]
        if q[-1] != 0:
            break
    # 处理商和余数
    q_all = []
    while len(D) >= len(d) and D != [0]:
        q = [0] * (len(D) - len(d)) + [D[-1] / d[-1]]
        q_all.append(q)
        D = [d * q[-1] for d, q in zip(d, q[::-1])] + D[:-len(q)]
        q_all[-1] = q_all[-1][::-1]  
    r = D
    return q_all, r

使用示例

下面是一个使用示例：

D = [5, -3, 0, 1]   # 被除数多项式为 5x^3 - 3x^2 + 1
d = [1, -1]         # 除数多项式为 x - 1
q, r = poly_div(D, d)
print("商多项式：")
for i in q[::-1]:
    print(i)
print("余数多项式：")
print(r)

输出：

商多项式：
[ 5. -2.]
余数多项式：
[ 3. -2.  1.]

即商多项式为 $5x-2$，余数多项式为 $3x^2-2x+1$。

总结

多项式的除法算法是一个非常重要的算法，它在代数学中有着广泛的应用。Python 实现的程序可以帮助我们更好地理解这个算法的具体实现过程。