通过反转或翻转子字符串的字符来最小化使二进制字符串的所有字符等于“1”的成本

在某些应用中，我们需要将一个二进制字符串中的所有字符都变为字符“1”。为了达到这个目标，我们可以通过反转或翻转子字符串来最小化成本。本文将介绍如何通过编程实现这个目标。

问题描述

给定一个由字符 '0' 和 '1' 组成的二进制字符串，我们可以执行以下两种操作之一：

1. 反转子字符串的字符：选择字符串中的一个连续子字符串，并对其进行字符反转（'0' 变为 '1'，'1' 变为 '0'）。

2. 翻转子字符串的字符：选择字符串中的一个连续子字符串，并按照相反的顺序重新排列该子字符串的字符（例如：'01' 变为 '10'）。

我们的目标是使字符串中的所有字符都变为字符 '1'，并找到最小成本的操作序列。

解决方案

思路

为了最小化成本，我们可以按照以下步骤来解决问题：

1. 计算从左至右的累计反转次数。

2. 计算从右至左的累计反转次数。

3. 遍历字符串的每个位置，分别计算将当前位置作为分割点时的总成本。

4. 返回最小的总成本。

算法

下面是解决该问题的算法的详细步骤：

1. 初始化两个数组 costToFlip 和 costToReverse，用于存储从左至右和从右至左的累计反转次数。

2. 遍历字符串，计算从左至右的累计反转次数，并将结果存储在 costToFlip 数组中。遍历过程中，记录当前反转次数以及当前位置上字符为 '0' 时的反转次数。

   costToFlip = []
   currentFlips = 0
   currentZeroFlips = 0
   
   for i in range(len(s)):
       if s[i] == '0':
           currentZeroFlips += 1
       currentFlips += 1 - int(s[i])
       costToFlip.append(currentFlips - currentZeroFlips)
   

3. 遍历字符串，计算从右至左的累计反转次数，并将结果存储在 costToReverse 数组中。遍历过程中，记录当前反转次数以及当前位置上字符为 '1' 时的反转次数。

   costToReverse = []
   currentReverses = 0
   currentOneReverses = 0
   
   for i in range(len(s)-1, -1, -1):
       if s[i] == '1':
           currentOneReverses += 1
       currentReverses += 1 - int(s[i])
       costToReverse.append(currentReverses - currentOneReverses)
   

4. 初始化最小成本为正无穷大，并遍历字符串的每个位置。对于每个位置，计算将当前位置作为分割点时的总成本，并更新最小成本。

   minCost = float('inf')
   
   for i in range(len(s)-1):
       minCost = min(minCost, costToFlip[i] + costToReverse[len(s)-2-i])
   

5. 返回最小成本。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 为字符串的长度。遍历字符串的两个过程分别需要 O(n) 的时间。空间复杂度为 O(n)，存储了两个辅助数组。

示例代码

下面是使用 Python 编程语言实现的示例代码：

def minCost(s):
    costToFlip = []
    currentFlips = 0
    currentZeroFlips = 0

    for i in range(len(s)):
        if s[i] == '0':
            currentZeroFlips += 1
        currentFlips += 1 - int(s[i])
        costToFlip.append(currentFlips - currentZeroFlips)

    costToReverse = []
    currentReverses = 0
    currentOneReverses = 0

    for i in range(len(s)-1, -1, -1):
        if s[i] == '1':
            currentOneReverses += 1
        currentReverses += 1 - int(s[i])
        costToReverse.append(currentReverses - currentOneReverses)

    minCost = float('inf')

    for i in range(len(s)-1):
        minCost = min(minCost, costToFlip[i] + costToReverse[len(s)-2-i])

    return minCost

总结

通过反转或翻转子字符串的字符来最小化使二进制字符串的所有字符等于“1”的成本是一个经典的问题。该问题可以通过累计反转次数和动态规划的思想来解决。使用上述算法，可以在线性时间复杂度内找到最小成本的操作序列。