查找旋转数组中的最大值

给定一个旋转排序数组，即某个位置进行了旋转，这个旋转点之前的元素移到了数组末尾，同时数组可能出现重复元素。查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值。

示例

输入: [3,4,5,1,2]
输出: 40
解释: Sum(i*arr[i]) 最大值为 0*3 + 1*4 + 2*5 + 3*1 + 4*2 = 40。

解题思路

旋转数组的特点是，数组被分为了两个有序的部分。如果我们能够将数组划分为两个有序的部分，就可以使用二分查找来寻找旋转点。

但是本题与常规的旋转数组查找最大值不同的地方在于，我们要求的不是最大值本身，而是 Sum(i*arr[i]) 的最大值。因此，我们需要利用一些数学方法来对问题进行转化。

考虑 Sum(i*arr[i]) 的求解方法。对于给定的数组 arr，我们将其视为由若干个元素 a 构成的集合。因此，有：

Sum(iarr[i]) = Sum(ia[i]) + Sum(i*(arr[i]-a[i])) = Sum(ia[i]) + Sum(iarr[i]) - Sum(ia[i]) = Sum(ia[i]) + Sum(i*(arr[i]-a[i]))

其中第一个求和式为定值，可以直接求解；第二个求和式需要在数组arr上进行旋转后再计算。

我们已经知道了如何求解第一个求和式，现在的问题是如何求解第二个求和式。下面给出具体的算法流程。

1. 首先，我们需要找到旋转点，并确定旋转后的数组分为了两个有序的部分。具体步骤如下：

• 如果 nums[mid] > nums[high]，说明最小值偏右，结果在右半边，将 low 指向 mid+1。
• 如果 nums[mid] < nums[high]，说明最小值偏左，结果在左半边，将 high 指向 mid。
• 如果 nums[mid] == nums[high]，需要将 high 减1，跳过重复元素继续查找。

2. 确定旋转点之后，我们可以使用双指针法在 arr 数组上进行查找。具体步骤如下：

• 定义两个指针 i 和 j，i 指向前半部分的最后一个元素，j 指向后半部分的第一个元素。
• 初始化 Sum(iarr[i]) 为 sum1，Sum(i(arr[i]-a[i])) 为 sum2，其值等于 Sum(iarr[i]) - Sum(ia[i])。
• 如果 a[i] 大于 a[j]，说明需要将 i 向左移动一位，这样可以保证 arr[i] 大于 arr[j]。
• 如果 a[i] 小于或等于 a[j]，说明可以使用 arr[j] 替代 arr[i]，并将 j 向右移动一位，从而使得 Sum(i*(arr[i]-a[i])) 变小。
• 更新 Sum(i*arr[i]) 的值，并记录最大值。

3. 循环结束后，Sum(i*arr[i]) 的最大值即为答案。

代码实现

class Solution:
    def findMaxValue(self, nums: List[int]) -> int:
        #找旋转点
        low, high = 0, len(nums)-1
        while low < high:
            mid = low + (high - low) // 2
            if nums[mid] > nums[high]:
                low = mid + 1
            elif nums[mid] < nums[high]:
                high = mid
            else:
                high -= 1
        #双指针查找
        i, j = low-1, low
        sum1 = sum(i*nums[i] for i in range(low-1, -1, -1))
        sum2 = sum(i*(nums[i]-nums[low-1]) for i in range(len(nums)-1, low-1, -1))
        max_value = sum1 + sum2
        while i >= 0 and j < len(nums):
            if nums[i] > nums[j]:
                sum1 -= nums[i]
                i -= 1
            else:
                sum2 -= nums[low-1] - nums[j]
                j += 1
            max_value = max(max_value, sum1 + sum2)
        return max_value

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度，需要进行一次旋转点的查找和一次双指针的遍历。

空间复杂度：O(1)，只需要常数的额外空间。