Java程序查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值

给定一个数组，要求在该数组上进行旋转，找到该数组的某一旋转方式，让 Sum(i*arr[i]) 的值最大。

解题思路

首先，观察到 Sum(i*arr[i]) 中的 i 可以看作是数组下标，arr[i] 则表示该下标对应的值。因此，我们可以把式子拆开来看：

Sum(iarr[i]) = 0arr[0] + 1arr[1] + 2arr[2] + ... + (n-1)arr[n-1] = arr[0] + arr[1] + arr[2] + ... + arr[n-1] + (1arr[1] + 2arr[2] + 3arr[3] + ... + (n-1)*arr[0])

我们可以发现，第一项 arr[0] + arr[1] + arr[2] + ... + arr[n-1] 是数组的总和，它不会随着旋转而改变。而第二项是 i 和 arr[i] 的乘积之和，我们可以通过旋转数组来尽可能地让这个值最大化。

我们假设旋转 k 个位置，那么旋转后的数组就可以分为两部分：

• 第一部分是从下标 k 开始到 n-1 的元素
• 第二部分是从下标 0 开始到下标 k-1 的元素

假设原数组的长度是 n，根据上述假设，我们可以把旋转 k 个位置后的数组看成是将原数组的后 k 个元素放到前面，前 n-k 个元素放到后面得到的。那么旋转后 Sum(i * arr[i]) 的值就可以表示为：

Sum(k) = k*arr[n-k] + (k+1)arr[n-k+1] + ... + (n-1)arr[0] + 0arr[1] + 1arr[2] + ... + (k-1)*arr[n-k-1]

这个式子中，“arr[n-k] + arr[n-k+1] + ... + arr[n-1]” 表示的就是旋转后的数组的后 k 个元素的和，它们被乘上了它们原来在数组中的下标（即从 n-k 开始一直到 n-1）。同理，“arr[0] + arr[1] + ... + arr[n-k-1]” 表示的就是旋转后的数组的前 n-k 个元素的和，它们被乘上了它们原来在数组中的下标（即从 0 一直到 n-k-1）。

根据上述分析，我们可以把 Sum(k) 中的每一项相加，得到 Sum(k) 的具体值：

Sum(k) = (n-k)*arr[0] + (n-k+1)arr[1] + ... + (n-1)arr[k-1] + 0arr[k] + 1arr[k+1] + ... + (k-1)*arr[n-1]

我们的目标就是要找到让 Sum(k) 最大的旋转方式 k。可以通过枚举来依次计算 Sum(k) 的值，找到其中的最大值。

代码实现

public class RotateArray {
    public static int maxSum(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += arr[i];
        }
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            int curSum = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (i + k >= n) {
                    curSum += (n - (i + k)) * arr[i];
                } else {
                    curSum += (i + k) * arr[i];
                }
            }
            maxSum = Math.max(maxSum, curSum);
        }
        return maxSum - sum;
    }
}

这里的 maxSum() 方法接收一个 int[] 类型的参数 arr，表示需要进行旋转操作的数组。首先，我们先求出数组 arr 的总和 sum。接着，我们使用一个循环枚举旋转方式 k，并在内部使用另一个循环计算 Sum(k) 的值。其中，如果 i + k >= n，则表示当前元素已经旋转到了数组的最前面，此时需要使用 (n - (i + k)) 来计算它的下标。最后，我们返回 Sum(k) 减去 sum 的值，即为最终的最大值。

总结

本文介绍了一种通过数组旋转来求解 Sum(i * arr[i]) 最大值的解题方法。该方法需要枚举所有旋转方式，并计算每个旋转方式下的 Sum(k) 的值。在代码实现时，需要注意处理元素下标的计算，避免数组越界。