从具有至少K个相等元素对的两个数组中选择大小相等的子数组的方法数

本文将介绍如何通过动态规划（DP）算法解决从具有至少K个相等元素对的两个数组中选择大小相等的子数组的方法数的问题。

问题描述

给定两个长度为n的数组A和B，定义一个“相等元素对”为在数组A和B中下标相同的元素相等，即A[i] = B[i]。现在需要从数组A和B中各选择一个长度为k的子数组，要求这两个子数组中至少有K个相等元素对。请问有多少种选择方式？

DP算法解决思路

定义dp[i][j][p][q]表示A的前i个元素与B的前j个元素选取的子数组中，包含了p个相等元素对的情况下，A的前i个元素以及B的前j个元素中，选取了长度为q的子数组的方案数。

注意到元素对最多只有k个，因此最终的答案可以表示为dp[n][n][k][k]。初始状态为dp[i][j][0][0] = 1，dp[i][j][p][q] (p > 0 or q > 0) = 0。

考虑动态转移方程，对于当前的状态dp[i][j][p][q]，有两种情况：

1. 如果A[i] = B[j]，那么有两种选法：
   • 选择i和j作为相等元素对的一部分，此时方案数为dp[i - 1][j - 1][p - 1][q - 1]。
   • 不选择i和j作为相等元素对的一部分，此时方案数为dp[i - 1][j - 1][p][q]。
2. 如果A[i] ≠ B[j]，那么有两种选法：
   • 选择A[i]，此时方案数为dp[i - 1][j][p][q - 1]。
   • 选择B[j]，此时方案数为dp[i][j - 1][p][q - 1]。

综上所述，转移方程为：

dp[i][j][p][q]= { dp[i - 1][j - 1][p - 1][q - 1] + dp[i - 1][j - 1][p][q] if A[i] = B[j] dp[i - 1][j][p][q - 1] + dp[i][j - 1][p][q - 1] if A[i] ≠ B[j] }

最终答案为dp[n][n][k][k]。时间复杂度为O(n^4)。

代码实现

def count_subarrays(A, B, K):
    n = len(A)
    dp = [[[[0] * (K + 1) for _ in range(K + 1)] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        for j in range(n + 1):
            dp[i][j][0][0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for p in range(1, K + 1):
                for q in range(1, K + 1):
                    if A[i - 1] == B[j - 1]:
                        dp[i][j][p][q] += dp[i - 1][j - 1][p - 1][q - 1] + dp[i - 1][j - 1][p][q]
                    else:
                        dp[i][j][p][q] += dp[i - 1][j][p][q - 1] + dp[i][j - 1][p][q - 1]

    return dp[n][n][K][K]

总结

本文介绍了如何利用动态规划算法解决从具有至少K个相等元素对的两个数组中选择大小相等的子数组的方法数的问题。通过定义状态，明确状态转移方程，可以高效地求解该问题。