非零AND值到达矩阵末尾的方式的数量

在给定矩阵中查找一条路径，使得路径上每个元素的AND值都不为零，并且从起点开始到达矩阵末尾。本文介绍两种解决方案——DFS和动态规划。

DFS

深度优先搜索（DFS）是一种遍历图形或树形结构的算法。在这个问题中，我们可以使用它来查找从起点到达矩阵末尾的所有路径。我们可以通过回溯将计数器加1，每当我们找到一条路径从起点到达末尾，计数器加1。最后，我们将计数器返回并输出结果。

def countNonZeroANDPathsDFS(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    count = [0]
    
    def dfs(i, j, product):
        if product == 0:  # 如果AND值为零，终止搜索
            return
        if i == m-1 and j == n-1:  # 到达矩阵末尾，计数器加1
            count[0] += 1
            return
        
        if i < m-1:
            dfs(i+1, j, product&matrix[i+1][j])
        if j < n-1:
            dfs(i, j+1, product&matrix[i][j+1])
            
    dfs(0, 0, matrix[0][0])
    return count[0]

动态规划

动态规划是一种处理多阶段决策过程的优化方法。在这个问题中，我们可以通过不断计算 AND 值来检查是否存在非零的 AND 值路径，并使用动态规划优化计算过程。

具体来说，我们可以定义 dp[i][j] 为从起点 (0, 0) 到达 (i, j) 的路径数量。然后，我们逐个遍历矩阵中的元素，并使用下列递推公式更新 dp 数组：

dp[i][j] = (dp[i-1][j] if i > 0 and matrix[i-1][j] & matrix[i][j] else 0) + 
           (dp[i][j-1] if j > 0 and matrix[i][j-1] & matrix[i][j] else 0)

最后，我们返回 dp[-1][-1]，即状态矩阵的末尾元素。

def countNonZeroANDPathsDP(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    
    # 初始化边界（起点）
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] & matrix[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] & matrix[0][j]
        
    # 动态规划递推
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = (dp[i-1][j] if matrix[i-1][j] & matrix[i][j] else 0) + \
                       (dp[i][j-1] if matrix[i][j-1] & matrix[i][j] else 0)
            
    return dp[-1][-1]

总结

本文介绍了如何通过 DFS 和动态规划求解“非零 AND 值到达矩阵末尾的方式的数量”问题。其中 DFS 方法简单直接，但在输入数据较大时可能超时；动态规划则具有较好的时间和空间复杂度，可用于处理更大的输入数据。