非零AND值到达矩阵末尾的方式的数量

简介

该主题指的是给定一个矩阵，从矩阵的左上角出发，每次只能向右或向下移动一位。问有多少种移动方式可以到达矩阵的右下角，且移动路径上所有元素的AND值为非零。其中AND值是指所有元素的按位与。

例子

例如，给定以下矩阵：

1  2  3
4  5  6
7  8  9

从左上角开始，共有以下四种方式到达右下角，并且沿途的AND值都为非零：

1 -> 4 -> 7 -> 8 -> 9
1 -> 4 -> 5 -> 8 -> 9
1 -> 2 -> 5 -> 8 -> 9
1 -> 2 -> 6 -> 9

解法

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。我们用dp[i][j]表示从左上角到达(i, j)的位置时AND值的结果，同时dp2[i][j]表示从左上角到达(i, j)的位置的方式数量，其中1表示非零，0表示零。这两个数组的初始值都是0。

对于dp[i][j]和dp2[i][j]，我们可以根据上一步向右或向下移动所得到的AND值来计算。具体来说，如果(i-1, j)的值为非零，并且(i, j)的值为非零，则dp[i][j]=dp[i-1][j] & a[i][j]。如果(i, j-1)的值为非零，并且(i, j)的值为非零，则dp[i][j]=dp[i][j-1] & a[i][j]。可以发现，这两个情况中只要有一个成立，就说明从左上角到达(i, j)的位置的AND值都不为零，即dp[i][j]=1。

对于dp2[i][j]，同样也需要根据上一步移动后是否为非零AND值来计算。具体来说，如果(i-1, j)的值为非零，且(dp[i-1][j] & a[i][j])不为零，则dp2[i][j]+=dp2[i-1][j]。如果(i, j-1)的值为非零，且(dp[i][j-1] & a[i][j])不为零，则dp2[i][j]+=dp2[i][j-1]。最终答案即为dp2[m-1][n-1]，其中m、n为矩阵的行数和列数。

代码实现

具体实现过程中，我们需要注意边界条件，即当i或j等于0时，(i-1, j)或(i, j-1)不存在，需要单独计算。下面是python的实现代码：

def solve(a):
    m, n = len(a), len(a[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp2 = [[0] * n for _ in range(m)]

    dp[0][0] = a[0][0]
    dp2[0][0] = 1

    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] & a[0][j]
        dp2[0][j] = dp2[0][j-1] & (dp[0][j] != 0)

    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] & a[i][0]
        dp2[i][0] = dp2[i-1][0] & (dp[i][0] != 0)

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if dp[i-1][j] != 0 and a[i][j] != 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] & a[i][j]
                dp2[i][j] += dp2[i-1][j]
            if dp[i][j-1] != 0 and a[i][j] != 0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] & a[i][j]
                dp2[i][j] += dp2[i][j-1]

    return dp2[m-1][n-1]

注意，上述代码中的&表示按位与运算符。