对索引的乘积等于这些索引中存在的元素的乘积的对进行计数

在计算机科学中，有时我们需要统计数组中的特定元素对在它们的索引上乘积相等的情况。这种问题非常常见，比如在子数组中查找等价类、在矩阵中查找相同的行等等。

举一个例子，如果给定数组nums = [2,4,6,8,10]，则元素对(0, 2)和(1, 3)的乘积等于元素对(2, 4) 乘积 = 2 * 10 = 4 * 8 = 6 * 4 = 24各等于24。现在，我们的任务是计算具有相同乘积的所有元素对的数量。

一个效率较高的解决方案是利用哈希表来记录数组中元素的乘积。我们可以遍历数组中的所有元素对，将它们的乘积作为键存入哈希表中，同时将值递增1。具体的实现可以看下面的代码片段:

from collections import defaultdict

def count_index_pairs(nums):
    n = len(nums)
    count = 0
    index_map = defaultdict(list)

    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            prod = nums[i] * nums[j]
            if prod in index_map:
                for k in index_map[prod]:
                    if k < i:
                        count += 1
            index_map[prod].append(i)

    return count

在这段代码中，我们首先使用defaultdict来创建一个名为index_map的哈希表。对于每一个元素对(i, j)，我们计算它们的乘积prod = nums[i] * nums[j]，并将该元素乘积的所有索引都存储到哈希表index_map中。如果在哈希表中找到了乘积等于当前元素对的键，则将它的值累加到结果中。为了避免重复计数(如元素对(0, 2)和(2, 0)被重复计数)，限制了第二个元素的索引必须大于第一个元素的索引。

这段代码的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。对于非常大的数组，我们可以考虑一些优化来提高效率和减少存储空间。