一对乘积等于剩余对乘积的四元组计数

在计算机编程中，经常需要解决一些与集合操作相关的问题。其中之一是计算给定数组中四元组的数量，这些四元组中，成对乘积的值等于剩余两对乘积的值。

问题背景

给定一个整数数组 nums，我们需要找到所有满足以下条件的四元组 (a, b, c, d)：

1. nums[a] * nums[b] == nums[c] * nums[d]
2. 0 <= a, b, c, d < len(nums)

要求计算满足上述条件的四元组的数量。

示例

nums = [2, 0, 1, 3, -2, -3]
# 答案为：5

满足条件的四元组为 (0, 2, 1, 3), (0, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 4), (1, 3, 0, 4), (2, 3, 0, 5)。

思路

我们可以通过优化的算法来解决这个问题。遍历所有可能的四元组 (a, b, c, d)，并在遍历过程中利用字典来记录成对乘积的结果。

1. 创建一个字典 products，用于存储成对乘积的结果和其出现次数。

2. 遍历数组 nums 的两两组合，计算成对乘积，并将其添加到字典 products 中。

   for i in range(len(nums)):
       for j in range(i+1, len(nums)):
           product = nums[i] * nums[j]
           if product in products:
               products[product] += 1
           else:
               products[product] = 1
   

3. 初始化计数器 count 为 0。

4. 再次遍历数组 nums 的两两组合，并计算剩余两对乘积的结果。如果该结果存在于字典 products 中，则将对应的值累加到计数器 count 中。

   for i in range(len(nums)):
       for j in range(i+1, len(nums)):
           product = nums[i] * nums[j]
           if product in products:
               count += products[product]
   

5. 返回计数器 count 的值。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为数组 nums 的长度。遍历两两组合的时间复杂度为 O(n^2)，字典查找操作和累加操作的时间复杂度均为 O(1)。
• 空间复杂度：O(n^2)，存储字典 products 需要的空间大小与数组 nums 的长度相关。

代码实现

def count_quadruples(nums):
    products = {}
    count = 0

    # 计算成对乘积的结果并存储到字典中
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            product = nums[i] * nums[j]
            if product in products:
                products[product] += 1
            else:
                products[product] = 1

    # 计算剩余两对乘积的结果并累加到计数器中
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            product = nums[i] * nums[j]
            if product in products:
                count += products[product]

    return count

使用示例

nums = [2, 0, 1, 3, -2, -3]
count = count_quadruples(nums)
print(count)  # 输出：5

以上代码将打印出满足条件的四元组的数量。