找出两个大小不同的排序数组的中位数|套装1(线性)

问题描述

给定两个大小为m和n的排序数组nums1和nums2，我们要找出这两个排序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为O(log(m+n))。

解决方案

我们可以将这两个数组合并为一个有序数组后再找中位数。但是，这种方法的时间复杂度为O(m+n)，不符合要求。因此，我们需要寻求其他的解决方案。

方法一：归并排序

我们可以使用归并排序的思想，将两个数组合并为一个有序数组。

具体算法步骤如下：

1. 初始化两个指针i和j，分别指向两个数组的开头。
2. 计算出中位数在合并后的数组中的位置k。
3. 如果nums1[i]小于nums2[j]，则将nums1[i]加入合并后的数组中，并将i加1。
4. 如果nums1[i]大于等于nums2[j]，则将nums2[j]加入合并后的数组中，并将j加1。
5. 如果k为奇数，则中位数为合并后数组的第k/2+1个数字。
6. 如果k为偶数，则中位数为合并后数组的第k/2个数字和第k/2+1个数字的平均值。

时间复杂度为O(m+n)，不满足要求。

方法二：二分查找

我们可以使用二分查找的思想。

我们首先需要理解中位数的定义，中位数是一个有序数组中间的那个数。如果数组的长度为奇数，则中位数是它的中间那个数；如果数组的长度是偶数，则中位数是中间两个数的平均数。

我们可以根据中位数的定义，将数组分为两部分，左边部分包含前k-1个元素，右边部分包含后n-k个元素。由于我们要保证左边部分的元素都小于右边部分的元素，因此我们需要满足以下两个条件：

1. nums1的第i个元素必须小于等于nums2的第j个元素。
2. nums2的第j-1个元素必须小于等于nums1的第i个元素。

接下来我们需要找到满足条件的i和j的值。

具体算法步骤如下：

1. 由于nums1的长度可能会比nums2的长度小，因此我们优先考虑令nums1的长度为m，nums2的长度为n。
2. 令i的初始值为0，j的初始值为(n+m+1)/2-i。
3. 对于每个i∈[0,m]，我们使用二分查找算法在nums2中找到符合条件的j的值。
4. 找到i和j的值后，我们就可以计算出中位数的值。

时间复杂度为O(log(min(m,n)))，满足要求。

下面是使用Python语言实现的代码片段：

def findMedianSortedArrays(nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    left, right, mid = 0, m, (m + n + 1) // 2
    while left <= right:
        i = (left + right) // 2
        j = mid - i
        if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
            left = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            right = i - 1
        else:
            if i == 0:
                max_of_left = nums2[j-1]
            elif j == 0:
                max_of_left = nums1[i-1]
            else:
                max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
            
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left
            
            if i == m:
                min_of_right = nums2[j]
            elif j == n:
                min_of_right = nums1[i]
            else:
                min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
            
            return (max_of_left + min_of_right) / 2

总结

本篇文章介绍了两种解决方案，一种是归并排序，时间复杂度为O(m+n)，不满足要求；另一种是二分查找，时间复杂度为O(log(min(m,n)))，满足要求。其中，二分查找是最优解决方案。